Question

【題目】如圖，在半徑為5的⊙中，弦，是弦所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，線段的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】8或

【解析】

根據(jù)題意，以為腰的等腰三角形有兩種情況，當(dāng)AB=AP時(shí)，利用垂徑定理及相似三角形的性質(zhì)列出比例關(guān)系求解即可，當(dāng)AB=BP時(shí)，通過角度運(yùn)算，得出BC=AB=8即可．

解：①當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖，連接OA、OB，延長(zhǎng)AO交BP于點(diǎn)G，故AG⊥BP， 過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，

∵在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，

∴，

由垂徑定理可知，

∴，

在Rt△OAH中，

在Rt△CAP中， ，且

∴，

在Rt△PAG與Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，

∴Rt△PAG∽Rt△PCA

∴ ，則，

∴；

②當(dāng)AB=BP時(shí)，如下圖所示，∠BAP=∠BPA，

∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，

∴BC=AB=8

故答案為8或