Question

【題目】已知，如圖，四邊形中，，是中點，平分.連接．

(1)是否平分？請證明你的結(jié)論；

(2)線段與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM平分∠BAD，理由見詳解；（2）AM⊥DM，理由見詳解.

【解析】

（1）由題意過點M作ME⊥AD，垂足為E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，從而證明AM平分∠BAD；

（2）根據(jù)題意利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得∠1+∠3=90°，從而求證兩直線垂直．

解：（1）AM平分∠BAD，理由為：

證明：過點M作ME⊥AD，垂足為E，

∵DM平分∠ADC，

∴∠1=∠2，

∵MC⊥CD，ME⊥AD，

∴ME=MC（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），

又∵是中點，MC=MB，

∴ME=MB，

∵MB⊥AB，ME⊥AD，

∴AM平分∠BAD（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．

（2）AM⊥DM，理由如下：

∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥CB，AB⊥CB，

∴CD∥AB（垂直于同一條直線的兩條直線平行），

∴∠CDA+∠DAB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

又∵∠1=∠CDA，∠3=∠DAB（角平分線定義），

∴2∠1+2∠3=180°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠AMD=90°，即AM⊥DM．