Question

【題目】如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4，E 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在射線 AD 上，過(guò)點(diǎn) P 作 PF⊥AE，垂足為 F．

（1）求證：△PFA∽△ABE；

（2）當(dāng)點(diǎn) P 在射線 AD 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè) PA=x，是否存在實(shí)數(shù) x，使以 P，F(xiàn)，E 為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE

相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)x=2或x=5時(shí)，以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似．

【解析】分析：（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；
（2）根據(jù)題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進(jìn)而列出關(guān)系式．

詳解：證明：∵正方形ABCD

∴AD∥BC ，∠B=90°

∴∠PAF=∠AEB

∵PF⊥AE

∴∠PFA=∠B=90°

∴△PFA∽△ABE .

（2）情況1，當(dāng)△EFP∽ABE時(shí)，則有∠PEF=∠EAB，

∴PE∥AB， ∵AD∥BC ∠B=90°

∴四邊形ABEP為矩形

∴PA=EB=2，即x=2.

情況2，當(dāng)△PFE∽△ABE時(shí)，且∠PEF=∠AEB時(shí)，

∵∠PAF=∠AEB

∴∠PEF=∠PAF，

∴PE=PA

∵PF⊥AE

∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)

∵AE=

∴，

由，得：

∴PE=5， ∴PA= PE=5，即x=5.

∴當(dāng)x=2或x=5時(shí)，以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似．