Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A (8,0) ,B (0,6)，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AO以每秒2個單位長度的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BO﹣OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N在y軸上的速度是每秒3個單位長度，在x軸上的速度是每秒4個單位長度，過點(diǎn)M作x軸的垂線交AB于點(diǎn)C，連結(jié)MN、CN．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t（秒），△MCN的面積為S（平方單位）．

（1）當(dāng)t為何值時，點(diǎn)M、N相遇?

（2）求△MCN的面積S（平方單位）與時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)t為何值時，△MCN是等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)0＜t≤2時，；當(dāng)2＜t＜ 時，；當(dāng)＜t≤4時，；（3）當(dāng)t＝或或時，△MCN是等腰三角形

【解析】

（1）由題意列方程可求t的值；
（2）分0＜t≤2，2＜t＜，＜t≤4三種情況討論，由三角形的面積公式可求解；
（3）分0＜t≤2，2＜t＜，＜t≤4三種情況討論，即可求t的值．

解：（1）由題意可得：2t+4（t﹣2）＝8

∴t＝

∴當(dāng)t＝時，點(diǎn)M、點(diǎn)N相遇；

（2）∵CM⊥OA，BO⊥OA，

∴CM∥BO，

∴△CMA∽△BOA ，

∴ 即：，

①如圖1所示：當(dāng)0＜t≤2時， ，

②如圖2所示：當(dāng)2＜t＜ 時，，

③如圖3所示：當(dāng)＜t≤4時，；

（3）應(yīng)分三種情況討論：

①當(dāng)0＜t≤2時，點(diǎn)N在BO上．

（i）如圖4，過C作CH⊥OB于H，

則CH＝OM＝

又∵CM＝

∴CH—CM=—=

當(dāng)0＜t≤2時，＞0，即CH＞CM

又CN≥CH，MN≥CH

∴CN＞CM，MN＞CM

即CNCM，MNMC

（ii）若NC=NM時，則△MCN是等腰三角形．

此時點(diǎn)N在CM的垂直平分線上，

∴ON=,

則有：6﹣3t＝

解得：t＝

②當(dāng)2＜t＜時，如圖2所示：此時點(diǎn)N在OA上，且點(diǎn)N在點(diǎn)M左側(cè)．

∵∠CMN＝90°

∴只有當(dāng)MC=MN時，△MCN是等腰三角形．

此時,

則有：

解得：t＝

③當(dāng)＜t≤4時，如圖3所示：點(diǎn)N在OA上，且點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)．

同理可得：只有當(dāng)MC=MN時，△MCN是等腰三角形．

此時

則有：

解得：t＝

綜上所述：當(dāng)t＝或或時，△MCN是等腰三角形．