Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)M（﹣2，），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長最�。咳舸嬖�，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

       解：（1）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）²+，

將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）²+，

解得a=﹣，

故所求拋物線的解析式為y=﹣x²﹣x+；

（2）∵y=﹣x²﹣x+，

∴x=0時(shí)，y=，

∴C（0，）．

y=0時(shí)，﹣x²﹣x+=0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC==2．

設(shè)P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以

當(dāng)CP=CB時(shí)，有CP==2，解得m=±；

當(dāng)BP=BC時(shí)，有BP==2，解得m=±2．

綜上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，

所以BC²+AC²=AB²，即BC⊥AC．

連結(jié)BC并延長至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，

∵B、B′關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

又BM=2，所以此時(shí)△QBM的周長最小．

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．

設(shè)直線MB′的解析式為y=kx+n，

將M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直線MB′的解析式為y=x+．

同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+．

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直線AC上存在一點(diǎn)Q（﹣，），使△QBM的周長最�。�