Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN．求△AMN的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】△AMN的周長(zhǎng)為2．

【解析】

根據(jù)已知條件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，證明△DMN≌△DEN，得到對(duì)應(yīng)邊相等即可解題.

如圖，延長(zhǎng)NC到E，使CE=BM，連接DE，

∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

，

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，

∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周長(zhǎng)為2．