Question

（本題滿分10分）將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，得△AB′C′，如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．

（1）如圖①，對(duì)△ABC作變換[50°，]得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC= ；直線BC與直線BC′所夾的銳角為 度；

（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對(duì)△ABC 作變換[θ，n]得△AB'C'，使點(diǎn)B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為矩形，求θ 和n的值；

（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對(duì)△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為平行四邊形，求θ 和n的值．

 

 

Answer 1

（1）5，50；（2）60°，2；（3）72°，．

【解析】

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)與相似的性質(zhì)，即可得S△AB′C′：S△ABC=3，然后由△ABN與△B′MN中，∠B=∠B′，∠ANB=∠B′NM，可得∠BMB′=∠BAB′，即可求得直線BC與直線B′C′所夾的銳角的度數(shù)；

（2）由四邊形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC，即可求得θ的度數(shù)，又由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得n的值；

（3）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案．

試題解析：（1）根據(jù)題意得：△ABC∽△AB′C′，∴S△AB′C′：S△ABC=（）2=5，∠B=∠B′，

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=50°；故答案為：5，50．

（2）∵四邊形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°—30°=60°．

在 Rt△ABC 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°，∴n==2．

（3）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，∴AC′∥BB′，

又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°．∴∠C′AB′=∠BAC=36°，而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA，∴AB：BB′=CB：AB，∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），

而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB），∴AB=．∵AB＞0，∴n=．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．平行四邊形的性質(zhì)；3．矩形的性質(zhì)；4．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．