Question

如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E，D′E交AC于F點(diǎn)．若AB=6cm．

（1）AE的長(zhǎng)為 cm；

（2）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；

（3）求點(diǎn)D′到BC的距離．

 

 

Answer 1

（1）；（2）12cm；（3）cm．

【解析】

試題分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)而得出答案：

∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．

∵點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，∴AE=DC=cm．

（2）首先得出△ADE為等邊三角形，進(jìn)而求出點(diǎn)E，D′關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DD′交AC于點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，此時(shí)DP+EP值為最小，進(jìn)而得出答案．

（3）連接CD′，BD′，過(guò)點(diǎn)D′作D′G⊥BC于點(diǎn)G，進(jìn)而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），則∠D′BG=45°，D′G=GB，進(jìn)而利用勾股定理求出點(diǎn)D′到BC邊的距離．

試題解析：【解析】
（1）．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，

∵E為CD邊上的中點(diǎn)，∴DE=AE．∴△ADE為等邊三角形．

∵將△ADE沿AE所在直線翻折得△AD′E，∴△AD′E為等邊三角形，∠AED′=60°．

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直線垂直平分線段ED′．

∴點(diǎn)E，D′關(guān)于直線AC對(duì)稱．

如答圖1，連接DD′交AC于點(diǎn)P，∴此時(shí)DP+EP值為最小，且DP+EP=DD′．

∵△ADE是等邊三角形，AD=AE=，

∴，即DP+EP最小值為12cm．

（3）如答圖2，連接CD′，BD′，過(guò)點(diǎn)D′作D′G⊥BC于點(diǎn)G，

∵AC垂直平分線ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．

設(shè)D′G長(zhǎng)為xcm，則CG長(zhǎng)為cm，

在Rt△GD′C中，由勾股定理得，

解得：（不合題意舍去）．

∴點(diǎn)D′到BC邊的距離為cm．

考點(diǎn)：1．翻折和單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2．勾股定理；3．直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；4．等邊三角形三角形的判定和性質(zhì)；5．軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短線路問(wèn)題）；6．全等三角形的判定和性質(zhì)；7．方程思想的應(yīng)用．