Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．過(guò)點(diǎn)D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點(diǎn)M，N． 
（1）求過(guò)O，B，E三點(diǎn)的二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過(guò)計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax²+bx+c，可得

c=0 16a+4b+c=2 36a+6b+c=0

，解此方程即可求得答案；
（2）首先設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，然后將點(diǎn)D，E的坐標(biāo)代入即可求得直線DE的解析式，又由點(diǎn)M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，繼而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）由反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，即可求得該反比例函數(shù)的解析式，又由點(diǎn)N在BC邊上，B（4，2），可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4．然后由點(diǎn)N在直線y=-

1

2

x+3上，求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上．

解答：解：（1）設(shè)過(guò)O，B，E三點(diǎn)的二次函數(shù)關(guān)系式為：y=ax²+bx+c；
把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax²+bx+c，得

c=0 16a+4b+c=2 36a+6b+c=0

，
解得：

a=- 1 4 b= 3 2 c=0

，
∴過(guò)O，B，E三點(diǎn)的二次函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

4

x²+

3

2

x；


（2）設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)D，E的坐標(biāo)為（0，3）、（6，0），
∴

b=3 6k+b=0

，
 解得

k=- 1 2 b=3

，
∴直線DE的解析式為：y=-

1

2

x+3；
∵點(diǎn)M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2．
又∵點(diǎn)M在直線y=-

1

2

x+3上，
∴2=-

1

2

x+3．
∴x=2．
∴M（2，2）；

（3）∵y=

m

x

（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，2），
∴m=4．
∴該反比例函數(shù)的解析式為：y=

4

x

，
又∵點(diǎn)N在BC邊上，B（4，2），
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4．
∵點(diǎn)N在直線y=-

1

2

x+3上，
∴y=1．
∴N（4，1）．
∵當(dāng)x=4時(shí)，y=

4

x

=1，
∴點(diǎn)N在函數(shù)y=

4

x

 的圖象上．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．