Question

17．如圖，點C是線段BD上的一點，△ABC和△CDE為等邊三角形，點F、G、H、R分別為四邊形ABDE各邊的中點．
（1）求證：四邊形FGHR為菱形；
（2）若AB=8，CD=6，求FR的長．

Answer 1

分析 （1）連接AD與B C，首先證得△BCE≌△ACD，即可得到AD=BE，然后利用三角形的中位線定理證得四邊形RFGH的四邊相等；從而證得四邊形RFGH是菱形；
（2）作EN⊥CD于N，根據(jù)勾股定理求出BE的長，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．

解答 解：（1）連接AD、BE，
∵△ABC和△ECD是等邊三角形，
∴BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCE=∠ACD=120°，
在△BCE與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，
∵H、R是AE、AB的中點，
∴HR是△ABE的中位線，即HR=$\frac{1}{2}$BE，
同理可證得：RF=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BE，HG=$\frac{1}{2}$AD，
∴HR=RF=FG=GH，
∴四邊形RFGH是菱形；
（2）作EN⊥CD于N，
則CN=$\frac{1}{2}$CD=3，EN=3$\sqrt{3}$，
在Rt△EBN中，BE=$\sqrt{B{N}^{2}+E{N}^{2}}$=2$\sqrt{37}$，
則FR=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{37}$．

點評 本題考查的是中點四邊形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．