Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+b分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（8，0），點M是線段AB上的一個動點（點A、B除外），點N在x軸上方，使得以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形，點N的坐標為（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）或（-4，3）．

Answer 1

分析 分兩種情形討論①OB為邊，②OB為對角線，分別求出點N坐標即可．

解答 解：如圖，當OB為邊時，四邊形OBNM是菱形，連接ON交AB于H，延長NM交OA于E，

∵$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$OH•AB，
∴OH=$\frac{24}{5}$，BH=HM=$\frac{18}{5}$，
∴AM=AB-2BH=$\frac{14}{5}$，
由EM∥OB，得到$\frac{EM}{OB}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AE}{AO}$，
∴EM=$\frac{42}{25}$，AE=$\frac{56}{25}$，
∴OE=$\frac{144}{25}$，
∴點N坐標（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$），
如圖當OB為對角線時，易知點N坐標（-4，3）．

綜上所述以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形，點N的坐標為（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）或（-4，3）．

點評 本題考查一次函數(shù)圖象上的點坐標特征，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會分類討論，注意不能漏解，屬于中考常考題型．