【題目】在四邊形 ABCD 中,對(duì)角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn) O 的兩條直線分別交邊 AB、CD、AD、BC 于點(diǎn) E、F、G、H.

(感知)如圖,若四邊形 ABCD 是正方形,且 AG=BE=CH=DF,則 S 四邊形AEOG S 正方形 ABCD;

(拓展如圖②,若四邊形 ABCD 是矩形, S 四邊形 AEOGS 矩形 ABCD設(shè) AB=a, AD=b,BE=m, AG 的長(zhǎng)用含 a、b、m 的代數(shù)式表示);

(探究)如圖,若四邊形 ABCD 是平行四邊形,且 AB=3,AD=5,BE=1, 試確定 F、G、H 的位置,使直線 EF、GH 把四邊形 ABCD 的面積四等分.

【答案】【感知】【拓展】AG=;【探究】當(dāng) AG=CH=,BE=DF=1 時(shí),直線 EF、GH 把四邊形 ABCD 的面積四等分.

【解析】

感知如圖①,根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

拓展如圖②,過(guò)OONADN,OMABM,根據(jù)圖形的面積得到mb= AGa,于是得到結(jié)論;

探究如圖③,過(guò)OKLAB,PQAD,則KL=2OK,PQ=2OQ,根據(jù)平行四邊形的面積公式得到,根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論.

感知如圖①,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠OAG=OBE=45°,OA=OB,

在△AOG與△BOE中,,

∴△AOG≌△BOE,

S四邊形AEOG=SAOBS正方形 ABCD

故答案為:;

拓展如圖②,過(guò)OONAD N,OMABM,

SAOBS矩形ABCD,S四邊形AEOGS矩形ABCD,

SAOB=S四邊形AEOG,

SAOB=SBOE+SAOE,S四邊形AEOG=SAOG+SAOE,

SBOE=SAOG,

SBOEBEOM=b=mb,SAOGAGON=AGa=AGa,

mb=AGa,

AG=;

探究如圖③,過(guò)OKLAB,PQAD,

KL=2OK,PQ=2OQ,

S平行四邊形ABCD=ABKL=ADPQ,

3×2OK=5×2OQ,

,

SAOBS平行四邊形ABCD,S四邊形AEOGS平行四邊形ABCD

SAOB=S四邊形AEOG,

SBOE=SAOG,

SBOEBEOK=×1×OK,SAOGAGOQ,

×1×OK=AGOQ,

=AG=

∴當(dāng)AG=CH=,BE=DF=1時(shí),直線EF、GH把四邊形ABCD的面積四等分.

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2)如圖2,連接,菱形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,當(dāng)互相垂直時(shí),的長(zhǎng)為______;

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