【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c過點A(3, 0)、點B(0, 3).點M(m, 0)在線段OA上(與點A、O不重合),過點M作x軸的垂線與線段AB交于點P,與拋物線交于點Q,聯(lián)結BQ.
(1)求拋物線表達式;
(2)聯(lián)結OP,當∠BOP=∠PBQ時,求PQ的長度;
(3)當△PBQ為等腰三角形時,求m的值.
【答案】(1) y=x2+2x+3;(2) ;(3) m的值為2、或1.
【解析】
(1)將點A (3, 0)、點B (0, 3) 分別代入拋物線解析式y=x2+bx+c,化簡求出b,c的值即可;
(2)根據(jù)∠BOP =∠PBQ且MQ∥OB,可證△OBP ∽△BPQ,可設Q(x,x2+2x+3),求出直線AB的解析式,則可得P 的坐標為(x,3-x),可得BP=x,OB=3,PQ=x2+3x,利用相似三角形的對應邊成立比例即可求解;
(3)分三種情況討論:①當BQ=PQ時,②當BP=PQ時,③當BP=BQ時,然后分別求解即可.
(1)∵將點A (3, 0)、點B (0, 3) 分別代入拋物線解析式y=x2+bx+c得
,解之得:
∴拋物線的解析式為y=x2+2x+3
(2)
∵∠BOP =∠PBQ且MQ∥OB
∴∠OBP =∠BPQ
∴△OBP ∽△BPQ
設Q(x,x2+2x+3)
∵P點在直線AB上,并A (3, 0)、B (0, 3),
則直線AB的解析式為:
∴ P (x,3-x)
∴BP=x,OB=3,PQ=x2+3x
∴ 即
∴(0舍去)
∴
(3)∵M(m,0),P(m,3-m),Q(m,m2+2m+3)
∴BP=m,PQ=m2+3m且∠BPQ=45°
∴當△BPQ為等腰三角形時,存在如下情況:
①如圖1,當BQ=PQ時,即∠PBQ=∠BPQ=45°
∴△BPQ為等腰直角三角形 ∴m2+2m+3=3
∴m=2
②當BP=PQ時,即m=m2+3m,即(0舍去)
③如圖2,當BP=BQ時,∠BQP=∠BPQ=45°
根據(jù),,可得
則有 ,
∴m=1
綜上所述,m的值為2、或1.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高中學校為使高一新生入校后及時穿上合身的校服,現(xiàn)提前對某校九年級三班學生即將所穿校服型號情況進行了摸底調查,并根據(jù)調查結果繪制了如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖(校服型號以身高作為標準,共分為6種型號).
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該班共有多少名學生?其中穿175型校服的學生有多少?
(2)在條形統(tǒng)計圖中,請把空缺部分補充完整.
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,請計算185型校服所對應的扇形圓心角的大;
(4)求該班學生所穿校服型號的眾數(shù)和中位數(shù).
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,直線AE是⊙O的切線,CD平分∠ACB,若∠CAE=21°,則∠BFC的度數(shù)為( )
A.66°B.111°C.114°D.119°
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【題目】已知拋物線C1:y=ax2﹣4ax﹣5(a>0).
(1)當a=1時,求拋物線與x軸的交點坐標及對稱軸;
(2)①試說明無論a為何值,拋物線C1一定經(jīng)過兩個定點,并求出這兩個定點的坐標;
②將拋物線C1沿這兩個定點所在直線翻折,得到拋物線C2,直接寫出C2的表達式;
(3)若(2)中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2,求a的值.
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊長是6,∠A=60°,E是AD的中點,F是AB邊上一個動點,EG=EF且∠GEF=60°,則GB+GC的最小值是_____
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,點D在BC上,且CD=3DB,將△ABC折疊,使點A與點D重合,EF為折痕,則tan∠BED的值是_____.
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【題目】如圖所示,運載火箭從地面L處垂直向上發(fā)射,當火箭到達A點時,從位于地面R處的雷達測得AR的距離是40km,仰角是30°,n秒后,火箭到達B點,此時仰角是45°,則火箭在這n秒中上升的高度是_____km.
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【題目】已知反比例函數(shù),在下列結論中,不正確的是( 。
A.圖象必經(jīng)過點(4,)
B.圖象過第一、三象限
C.若x<-1,則y>-6
D.點 、是圖象上的兩點, ,則
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【題目】如圖,經(jīng)過和兩點的拋物線交軸于兩點,是拋物線上一動點,平行于軸的直線經(jīng)過點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,軸上有點連接,設點到直線的距離為..小明在探究的值的過程中,是這樣思考的:當是拋物線的頂點時,計算的值;當不是拋物線的頂點時,猜想是一個定值.請你直接寫出的值,并證明小明的猜想.
(3)如圖2,點在第二象限,分別連接、,并延長交直線于兩點.若兩點的橫坐標分別為,試探究之間的數(shù)量關系.
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