Question

研究所對(duì)某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的兩地年產(chǎn)量為x（噸）時(shí)，甲乙兩地的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）與x滿足關(guān)系式均為y=

1

10

x2+5x+50，投入市場(chǎng)后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價(jià)p_甲，p_乙（萬元）均與x滿足一次函數(shù)關(guān)系．（注：年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用）
（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，p_甲=-

1

20

x+14，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的年銷售額，并求年利潤(rùn)w_甲（萬元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，p_乙=-

1

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x+n（n為常數(shù)），且在乙地當(dāng)年的最大年利潤(rùn)為30萬元．試確定n的值；
（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計(jì)劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品15噸，根據(jù)（1）（2）問題中的條件，請(qǐng)你通過計(jì)算幫他決策，在甲地、乙地分別產(chǎn)銷多少噸可獲得最大年利潤(rùn)？最大年利潤(rùn)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出甲地當(dāng)年的年銷售額，進(jìn)而利用甲地當(dāng)年的年銷售額-生產(chǎn)費(fèi)用=年利潤(rùn)得出答案；
（2）根據(jù)題意得出w_乙=-

1

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x²+nx-（

1

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x²+5x+50）再利用公式法求出n的值；
（3）首先表示出年利潤(rùn)w_乙，進(jìn)而利用w=w_甲+w_乙，求出函數(shù)最值即可．

解答：解：（1）甲地當(dāng)年的年銷售額為(-

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x2+14x)萬元；
w_甲=(-

1

20

x2+14x)-（

1

10

x2+5x+50）
=-

3

20

x²+9x-50；

（2）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，年利潤(rùn)為：
w_乙=-

1

10

x²+nx-（

1

10

x²+5x+50）
=-

1

5

x²+（n-5）x-50
由

4×(- 1 5 )×(-50)-(n-5)2

4×(- 1 5 )

=30，
解得：n=13或-3．
經(jīng)檢驗(yàn)，n=-3不合題意，舍去，n=13．

（3）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，年利潤(rùn)w乙=-

1

5

x2+8x-50，
設(shè)在甲地區(qū)生產(chǎn)并銷售m噸，第一年總利潤(rùn)為w，則
w=w_甲+w_乙
=（-

3

20

m²+9m-50）+[-

1

5

（15-m）²+8（15-m）-50]
=-

7

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(x-10)2+10
則在甲地產(chǎn)銷10噸、乙地產(chǎn)銷5噸時(shí)，總利潤(rùn)最大且為10萬元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法，得出w與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．