Question

如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一動點(diǎn)（P與B、D不重合），∠APE=90°，且點(diǎn)E在BC邊上，AE交BD于點(diǎn)F．
（1）求證：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，

AP

AE

的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請說明理由；
（3）設(shè)DP=x，當(dāng)x為何值時，AE∥PC，并判斷此時四邊形PAFC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP°，再根據(jù)PB=PB，即可證出△PAB≌△PCB，
②根據(jù)∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB，從而證出PE=PC；
（2）根據(jù)PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根據(jù)∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求出

AP

AE

；
（3）先求出∠CPE=∠PEA=45°，從而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，從而證出BP=BC=1，x=

2

-1，再根據(jù)AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，從而證出AF=AP=PC，得出答案．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=

1

2

∠ABC=45°．
∵PB=PB，
∴△PAB≌△PCB （SAS）．
②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．
∵∠ABE=∠APE=90°，
∴∠PAB+∠PEB=180°，
又∵∠PEC+∠PEB=180°，
∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，
∴PE=PC．

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，

AP

AE

的值不改變．
由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．
∵PE=PC，
∴PA=PE，
又∵∠APE=90°，
∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，
∴

AP

AE

=

2

2

．

（3）∵AE∥PC，
∴∠CPE=∠PEA=45°，
∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=

1

2

（180°-45°）=67.5°．
在△PBC中，
∠BPC=（180°-∠CBP-∠PCE）=（180°-45°-67.5°）=67.5°．
∴∠BPC=∠PCE=67.5°，
∴BP=BC=1，
∴x=BD-BP=

2

-1．
∵AE∥PC，
∴∠AFP=∠BPC=67.5°，
由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，
∴∠AFP=∠BPA，
∴AF=AP=PC，
∴四邊形PAFC是菱形．

點(diǎn)評：此題考查了四邊形綜合，用到的知識點(diǎn)是等腰三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明和計算，得出有關(guān)結(jié)論．