Question

已知：如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺60°角的頂點與點A重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉．
（1）如圖1，當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F．求證：CE+CF=AB；
（2）如圖2，當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F．寫出此時CE、CF、AB長度之間關系的結論．（不需要證明）

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接AC，由在菱形ABCD中，∠B=60°，使三角尺60°角的頂點與點A重合，易證得△BAE≌△CAF，繼而證得結論；
（2）首先連接AC，由在菱形ABCD中，∠B=60°，使三角尺60°角的頂點與點A重合，易證得△CAE≌△DAF，繼而證得結論．

解答：（1）證明：連接AC．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵∠B=60°，
∴∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等邊三角形，…（1分）
∴AB=AC，∠BAC=∠ACD=∠B=60°．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠B=∠ACF

，
∴△BAE≌△CAF（ASA），…（3分）
∴BE=CF，…（4分）
∴CE+CF=CB=AB．    …（5分）

（2）連接AC．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵∠B=60°，
∴∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AD=AC，∠BAC=∠ACB=∠ADC=∠ACD=∠B=60°．
∴∠ACE=∠ADF=120°，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中，

∠CAE=∠DAF AC=AD ∠ACE=∠ADF

，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴CE=DF，
∴CF-CE=CF-DF=CD=AB．

點評：此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．