Question

已知：P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)．
（1）如圖1，若AC為直徑，求證：OP∥BC；
（2）如圖2，若sin∠P=

12

13

，求tan∠C的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）連接AB交PO于M，根據(jù)切線性質(zhì)得出PA=PB，OP平分∠APB，推出∠AMO=90°，根據(jù)平行線的判定推出即可；
（2）求出∠E=∠C，求出∠E=∠PBA，解直角三角形求出即可．

解答：證明：（1）連接AB交PO于M，
∵PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，
∴PA=PB，OP平分∠APB，
∴AB⊥OP，
∴∠AMO=90°，
∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠AMO=∠ABC，
∴OP∥BC；

（2）連接AB，過(guò)A作AD⊥PB于D，作直徑BE，連接AE，
∵PB為⊙O的切線，
∴BE⊥PB，
∴∠PBA+∠ABE=90°，
∵BE為直徑，
∴∠BAE=90°，
∴∠E+∠ABE=90°，
∴∠E=∠ABP，
∵∠E=∠C，
∴∠C=∠ABP，
∵sin∠P=

12

13

，
∴設(shè)AD=12x，則PA=13x，PD=5x，
∴BD=8x，
∴tan∠ABD=

AD

BD

=

12x

8x

=

3

2

，
∴tan∠C=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，解直角三角形的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一道的難度．