Question

（1）問題情境：
勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，借助“數(shù)形關(guān)系”利用面積法進(jìn)行證明，而以劉徽的“青朱出入圖”為代表的“無字證明”也頗為神奇，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出．
如圖1和2，將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長為（a+b）的正方形，使中間留下一個(gè)邊長c的空白正方形，畫出邊長為（a+b）正方形，在移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長分別為a和b的兩個(gè)空白正方形．則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，即

 

；
（2）嘗試證明：實(shí)際上只需圖2的“一半”即可用“數(shù)形關(guān)系”和面積法證明，美國總統(tǒng)伽菲爾德在1876年利用圖3證明了勾股定理，請(qǐng)你來試一試，借助圖3完成證明：
（3）問題拓展：已知Rt△ABC的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，求證：

a+b

c

≤

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的證明

專題：

分析：（1）結(jié)合圖形可知得到c²=a²+b²；
（2）可以利用梯形減去兩個(gè)黑色直角三角形的面積，整理可得到c²=a²+b²，可證得結(jié)論；
（3）可把不等式兩邊平方，再結(jié)合勾股定理可證得．

解答：（1）解：在圖1中，白色部分為邊為c的正方形，其面積為c²，
在圖2中，白色部分為邊長分別為a和b的兩個(gè)正方形，其面積和為a²+b²，
而a、b、c是直角三角形的三邊，所以有c²=a²+b²，
故答案為：c²=a²+b²；
（2）證明：∵S_白三角形=S_梯形-2S_黑三角形，
∴

1

2

c²=

1

2

（a+b）（a+b）-2×

1

2

ab，
即c²=a²+b²；
（3）證明：∵0≤（a-b）²，
∴2ab≤a²+b²，
∴a²+b²+2ab≤2（a²+b²），
∵a²+b²=c²，
∴（a+b）²≤2c²，
∴(

a+b

c

)2≤2，
∴

a+b

c

≤

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查勾股定理的證明和應(yīng)用，等積法是證明勾股定理常用的方法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．