Question

【題目】已知AD為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點為M，分別過A，D兩點作BC的垂線，垂足分別為B，C，AD的延長線與BC相交于點E．

（1）求證：△ABM∽△MCD；

（2）若AD=8，AB=5，求ME的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4

【解析】

（1）由AD為直徑，得到所對的圓周角為直角，利用等角的余角相等得到一對角相等，進(jìn)而利用兩對角對應(yīng)相等的三角形相似即可得證；

（2）連接OM，由BC為圓的切線，得到OM與BC垂直，利用銳角三角函數(shù)定義及勾股定理即可求出所求．

（1）∵AD為圓O的直徑，∴∠AMD=90°．

∵∠BMC=180°，∴∠2+∠3=90°．

∵∠ABM=∠MCD=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，∴△ABM∽△MCD；

（2）連接OM．

∵BC為圓O的切線，∴OM⊥BC．

∵AB⊥BC，∴sin∠E==，即=．

∵AD=8，AB=5，∴=，即OE=16，根據(jù)勾股定理得：ME===4．