【題目】如圖,四邊形OABC是矩形,點A坐標(biāo)為(2,0),點C坐標(biāo)為(0,4).點P從點O出發(fā),沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A運動,同時點Q從點A出發(fā),沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動,當(dāng)點P與點A重合時運動停止.設(shè)運動時間為t秒.
(1)當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時,求出t的值;
(2)當(dāng)t=1時,拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過P,Q兩點,與y軸交于點M,在該拋物線上找點D,使∠MQD=∠MPQ,求點D的坐標(biāo).
【答案】(1)或(2)或
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得:∠B=∠PAQ=90,所以當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時,存在兩種情況:①當(dāng)△PAQ∽△QBC時,,②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時,,分別列方程可得t的值;
(2)根據(jù)t=1求拋物線的解析式,根據(jù)Q(2,2),M(0,2),可得MQ∥x軸,則PM=PQ,PE⊥MQ,畫出符合條件的點D,利用三角函數(shù),列比例式可得點D的坐標(biāo),同理根據(jù)對稱可得另一個點D.
(1)如圖1,
∵當(dāng)點P與點A重合時運動停止,且△PAQ可以構(gòu)成三角形,
∴0<t<2,
∵四邊形OABC是矩形,
∴∠B=∠PAQ=90
∴當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時,存在兩種情況:
①當(dāng)△PAQ∽△QBC時,
,
∴,
4t210t+4=0,
(4t2)(t2)=0,
t1=2(舍),t2=,
②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時,,
∴,
t26t+4=0,
t=,
∵>2,
∴t=不符合題意,舍去,
綜上所述,當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時,t的值是或;
(3)當(dāng)t=1時,P(1,0),Q(2,2),
把P(1,0),Q(2,2)代入拋物線y=2x2+bx+c中得:
,解得:,
∴拋物線:y=2x24x+2=2(x1)2,
∴頂點為P(1,0),
∵Q(2,2),M(0,2),
∴MQ∥x軸,
作拋物線對稱軸,交MQ于E,設(shè)DQ交y軸于H,
∴PM=PQ,PE⊥MQ,
∴∠MPE=∠QPE=∠MPQ,
如圖2,∠MQD=∠MPQ=∠QPE,
∴tan∠MQD=tan∠QPE=,
即,MH=1,
∴H(0,3),Q(2,2)
設(shè)HQ的解析式為y=kx+b
把H(0,3),Q(2,2)代入得,解得
∴y= x+3,
則
,
解得:x1=2(舍),x2= ,
∴D;
同理,在M的下方,y軸上存在點H,如圖3,使∠HQM=∠MPQ=∠QPE,
由對稱性得:H(0,1),
設(shè)HQ的解析式為y=px+q
把H(0,1),Q(2,2)代入得,解得
∴y=x+1,
∴HQ的解析式:y=x+1,
則,
,
解得:x1=2(舍),x2=,
∴D;
綜上所述,點D的坐標(biāo)為:D或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖中的每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點叫做格點.線段和的端點均在格點上.
(1)在圖中畫出以為一邊的,點在格點上,使的面積為4,且的一個角的正切值是;
(2)在圖中畫出以為頂角的等腰(非直角三角形),點在格點上.請你直接寫出的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在創(chuàng)客教育理念的指引下,國內(nèi)很多學(xué)校都紛紛建立創(chuàng)客實踐空及創(chuàng)客空間,致力于從小培養(yǎng)孩子的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力,某校開設(shè)了“3D”打印、數(shù)學(xué)編程、智能機器人、陶藝制作“四門創(chuàng)客課程記為A、B、C、D,為了解學(xué)生對這四門創(chuàng)客課程的喜愛情況,數(shù)學(xué)興趣小組對全校學(xué)生進(jìn)行了隨機問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成兩幅均不完整的統(tǒng)計圖表:
請根據(jù)圖表中提供的信息回答下列問題
(1)統(tǒng)計表中的a= ,b= ;
(2)“陶藝制作”對應(yīng)扇形的圓心角為 ;
(3)學(xué)校為開設(shè)這四門課程,需要對參加“3D”打印課程每個人投資200元,預(yù)計A、B、C、D四門課程每人投資比為4:3:6:5,求學(xué)校開設(shè)創(chuàng)客課程需為學(xué)生人均投資多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑均為1個單位長度的半圓O1,O2,O3,…組成一條平滑的曲線.點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,速度為每秒個單位長度,則第15秒時,點P的坐標(biāo)是( )
A.(15,1)B.(15,﹣1)C.(30,1)D.(30,﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=kx-1(k>0)的圖象與一次函數(shù)圖象y=﹣x+4交于a、b兩點,點a的縱坐標(biāo)為3.
(1)求反比例函數(shù)的解析;
(2)y軸上是否存在一點P,使2∠APB=∠AOB?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,對稱軸為x=1,經(jīng)過點(-1,0),有下列結(jié)論:①abc<0;②a+c>b;③3a+c=0;④a+b>m(am+b)(其中m≠1)其中正確的結(jié)論有( 。
A. 1個
B. 2個
C. 3個
D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,點P從A點出發(fā)沿AB邊向B以1cm/s的速度移動,點Q從B點出發(fā)沿BC向C點以2cm/s的速度移動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時兩個點同時停止運動,在兩個點運動過程中,請回答:
(1)經(jīng)過多少時間,△PBQ的面積是5cm2?
(2)請你利用配方法,求出經(jīng)過多少時間,四邊形APQC面積最?并求出這個最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校體育組為了解全校學(xué)生“最喜歡的一項球類項目”,隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有 人,扇形統(tǒng)計圖中喜歡乒乓球的學(xué)生所占的百分比為 ;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖(圖2),并估計全校500名學(xué)生中最喜歡“足球”項目的有多少人?
(3)籃球教練在制定訓(xùn)練計劃前,將從最喜歡籃球項目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任選兩人進(jìn)行個別座談,請用列表法或樹狀圖法求抽取的兩人恰好是甲和乙的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)(m≠0)的圖象交于A、B兩點,與x軸交于C點,點A的坐標(biāo)為(n,6),點C的坐標(biāo)為(﹣2,0),且tan∠ACO=2.
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求點B的坐標(biāo).
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