Question

如圖，四邊形ABCD的點(diǎn)A在x軸上，邊CD在y軸上，已知A（3，0），B（1，4），D（0，3）．
（1）△ABD的形狀是

 

；
（2）在x軸上存在一點(diǎn)P，使以O(shè)，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若tan∠CBD=

1

3

，
①求證：BC是△ABD外接圓的切線；
②求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，則可知BE=DE，且OA=OD，可求得∠BDA=90°，可得△ABD為直角三角形；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則OP=|x|，當(dāng)△ODP和△ABD相似時，則有

AD

OP

=

BD

OD

或

AD

OD

=

BD

OP

，代入計(jì)算可求得x的值，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）①由BD=

2

，AD=3

2

可得tan∠BAD=

1

3

，可得∠CBD=∠BAD，可得出∠CBD+∠DBA=90°，可證得BC為切線；②由∠CBE=∠DBE-∠DBC，可求得tan∠CBE=

1

2

，可求得CE=

1

2

，則可求得OC的長，從而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：（1）解：
如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，
∵A（3，0），B（1，4），D（0，3），
∴BE=1，OE=4，OD=OA=3，
∴BE=DE=1，
∴∠BDE=∠ODA=45°，
∴∠BDA=90°，
∴△ABD為直角三形，
故答案為：直角三角形；
（2）解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則OP=|x|，
由（1）可求得AD=3

2

，BD=

2

，
∵△ODP和△ABD相似，
∴有

AD

OP

=

BD

OD

或

AD

OD

=

BD

OP

，
當(dāng)

AD

OP

=

BD

OD

時，有

3 2

|x|

=

2

3

，解得x=±9，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，0）或（-9，0）；
當(dāng)

AD

OD

=

BD

OP

時，有

2

|x|

=

3 2

3

，解得x=±1，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（-1，0）；
綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，0）或（-9，0）或（1，0）或（-1，0）；
（3）①證明：
∵AD=3

2

，BD=

2

，
∴tan∠BAD=

BD

AD

=

1

3

，且tan∠CBD=

1

3

，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠CBD+∠DBA=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC為△ABD外接圓的切線；
②解：∵∠CBE=∠DBE-∠DBC，
∴tan∠CBE=tan（∠DBE-∠DBC）=

tan∠DBE-tan∠DBC

1+tan∠DBE•tan∠DBC

=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
在Rt△CBE中，tan∠CBE=

CE

BE

，
∴

CE

1

=

1

2

，
∴CE=

1

2

，
∴OC=OE-CE=4-

1

2

=

7

2

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

7

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和切線的判定、三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．當(dāng)知道點(diǎn)的坐標(biāo)時，可利用勾股定理計(jì)算出線段的長度，這是解決解析幾何常用的方法；在求（2）中P點(diǎn)的坐標(biāo)時分兩種情況是關(guān)鍵；在（3）①中利用求得三角函數(shù)相等得到角相等是關(guān)鍵，在②中利用條件求得tan∠CBE=

1

2

是解題的關(guān)鍵．