Question

【題目】如圖，正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，將沿翻折，得到，連接，交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

如圖：過(guò)E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連接BE．先通過(guò)等腰三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)得到FQ=BQ=PE=1；再說(shuō)明△DEF是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理計(jì)算得到DE=EF=；如圖2，由DC//AB可得△DGC∽△FGA，列比例式可求FG和CG的長(zhǎng)，從而得EG的長(zhǎng)；然后再根據(jù)AGHF是等腰直角三角形，求得GH和FH的長(zhǎng)；利用DE∥GM證明△DEN∽△MNH，則可得EN=，然后計(jì)算出△EMN各邊的長(zhǎng)，最后求周長(zhǎng)即可．

解：如圖1：過(guò)E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連接BE．

∵DC∥AB

∴PQ⊥AB，

∴四邊形ABCD是正方形

∴∠ACD=450

∴△PEC是等腰直角三角形

∴PE=PC.

設(shè)PC=x，則PE=x，PD=4-x，EQ=4-x.

∴PD=EQ，

∴∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ.

∴△DPE≌△EQF

∴DE=EF

∵DE⊥EF

∴△DEF是等腰直角三角形

易證△DEC≌△BEC

∴DE=BE

∴EF=BE

∵EQ⊥FB

∴FQ=BQ=BF

∵AB=4，F是AB的中點(diǎn)

∴BF=2

∴FQ=BQ=PE=1

∴CE=，PD=4-1=3

Rt△DAF中，

∴DE=EF=

如圖2：∵DC//AB.

∴△DGC∽△FGA

∴

∴AG=2AG,DG=2FG

∴

∵

∴

∴

連接GM、GN，交EF于H.

∵∠GFE=45°

∴△GHF是等腰直角三角形

∴

由折疊得：GM⊥EF，MH=GH=

∴∠EHM=∠DEF=90°

∴DE∥HM

∴△DEN∽△MNH

∴

∴

∴EN=3NH

∵EN+NH=EH=

∴EN=

∴NH=EH-EN=

在Rt△GNH中，

由折疊得：MN=GN，EM=EG

∴△EMN的周長(zhǎng)為．

故選：C．