Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分線．

（1）求證：AM是⊙O的切線；

（2）若∠D = 60°，AD = 2，射線CO與AM交于N點，請寫出求ON長的思路．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：（1）根據垂徑定理得到AB垂直平分CD，根據線段垂直平分線的性質得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分線，得到∠DAM＝∠FAD，再由∠BAD與∠FAD互補，得出∠BAM＝90°，根據切線的判定即可得到結論；

（2）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形推出△ACD是等邊三角形，得到CD＝AD＝2，再根據等邊三角形的性質和三角形的內角和定理求出∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2，利用三角函數解直角三角形即可得到結論．

試題解析：

（1）證明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，

∴．

∴．

∵AM是∠DAF的角平分線，

∴．

∵°，

∴°．

∴OA⊥AM．

∴AM是⊙O的切線．

（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，可得AC＝AD，∠1＝∠3＝∠CAD；

②由∠D＝60°，AD＝2，可得△ACD為邊長為2的等邊三角形，∠1＝∠3＝30°；

③由OA＝OC，可得∠4＝∠3＝30°；

④由∠CAN＝∠3＋∠BAN＝30°＋90°＝120°，可得∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2；

⑤在Rt△OAN中，根據三角函數即可求出ON的長．