Question

已知：如圖，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點(diǎn)A（3，2）
（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；
（3）探索：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△OAP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）將A坐標(biāo)代入y=ax中，得：2=3a，即a=

2

3

，
∴正比例函數(shù)解析式為y=

2

3

x，
將A坐標(biāo)代入y=

k

x

中，得：2=

k

3

，即k=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

k

；
（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得：

y= 6 x y= 2 3 x

，
解得：

x=3 y=2

或

x=-3 y=-2

，
∴A（3，2），B（-3，-2），
由函數(shù)圖象得：當(dāng)x＜-3或0＜x＜3時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；
（3）在x軸上存在點(diǎn)P，使△OAP是等腰三角形，如圖所示：
以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于P₁與P₂兩點(diǎn)，此時(shí)△OAP₁與△OAP₂都為等腰三角形，
∵A（3，2），∴OA=

32+22

=

13

，
∴P₁（-

13

，0），
過A作AC⊥x軸，
∵OA=AP₂，∴OC=CP₂=3，
∴P₂（6，0）；
作出線段OA的垂直平分線，與x軸交于P₃，此時(shí)AP₃=OP₃，△OAP₃為等腰三角形，
設(shè)AP₃=OP₃=a，則P₃C=OC-OP₃=3-a，AC=2，
在Rt△ACP₃中，根據(jù)勾股定理得：a²=（3-a）²+2²，即6a=13，
解得：a=

13

6

，
∴P₃（

13

6

，0），
綜上，滿足題意的P坐標(biāo)為（-

13

，0）或（6，0）或（

13

6

，0）．