Question

關(guān)于x的一元二次方程x²-3（m+1）x+3m+2=0．
（1）求證：無論m為何值時，方程總有一個根大于0；
（2）若函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2與x軸有且只有一個交點，求m的值；
（3）在（2）的條件下，將函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2的圖象沿直線x=2翻折，得到新的函數(shù)圖象G．在x，y軸上分別有點P（t，0），Q（0，2t），其中t＞0，當線段PQ與函數(shù)圖象G只有一個公共點時，求t的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）先解方程求得x₁=1，x₁=3m+2，再根據(jù)x₁=1＞0，即可得出無論m為何值時，方程總有一個根大于0；
（2）根據(jù)函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2與x軸有且只有一個交點，可得出判別式△=0，從而求出m的值；
（3）依題意，得出沿直線x=2翻折后的解析式y(tǒng)=（x-3）²=x²-6x+9，求出與x、y軸的交點坐標，再求得直線PQ的解析式；分兩種情況討論：①當線段PQ與函數(shù)圖象相切時，△=16-4（9-2t）=0，求得t；②當線段PQ經(jīng)過點（0，9）時，2t=9，再求得t；綜上：當t=

5

2

或t=

9

2

時，線段PQ與函數(shù)圖象G只有一個公共點．

解答：解：（1）解方程x²-3（m+1）x+3m+2=0，得x₁=1，x₁=3m+2，
∵x₁=1＞0
∴無論m為何值時，方程總有一個根大于0；  
（2）∵若函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2與x軸有且只有一個交點，
∴△=9（m+1）²-4（3m+2）=0，
∴m=-

1

3

，
（3）當m=-

1

3

時，函數(shù)y=x²-2x+1=（x-1）²，
依題意，沿直線x=2翻折后的解析式為：y=（x-3）²=x²-6x+9，
可得，y=（x-3）²=x²-6x+9與x，y軸的交點分別為（3，0），（0，9）．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
由P（t，0），Q（0，2t）．
∴直線PQ的解析式為y=-2x+2t，
①當線段PQ與函數(shù)圖象相切時，-2x+2t=x²-6x+9△=16-4（9-2t）=0
∴t=

5

2

②當線段PQ經(jīng)過點（0，9）時，2t=9
∴t=

9

2

綜上：當t=

5

2

或t=

9

2

時，線段PQ與函數(shù)圖象G只有一個公共點．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，要掌握各知識點之間的聯(lián)系．