Question

如圖，已知一次函數(shù)y₁=

1

2

x+b的圖象l與二次函數(shù)y₂=-x²+mx+b的圖象C′都經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）和點(diǎn)C，且圖象C′過點(diǎn)A（2-

5

，0）．
（1）求二次函數(shù)的最大值；
（2）設(shè)使y₂＞y₁成立的x取值的所有整數(shù)和為s，若s是關(guān)于x的方程(1+

1

a-1

)x+

3

x-3

=0的根，求a的值；
（3）若點(diǎn)F、G在圖象C′上，長度為

5

的線段DE在線段BC上移動(dòng)，EF與DG始終平行于y軸，當(dāng)四邊形DEFG的面積最大時(shí)，在x軸上求點(diǎn)P，使PD+PE最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）首先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，然后求出其最大值；
（2）聯(lián)立y₁與y₂，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（

7

2

，

11

4

），因此使y₂＞y₁成立的x的取值范圍為0＜x＜

7

2

，得s=1+2+3=6；將s的值代入分式方程，求出a的值；
（3）第1步：首先確定何時(shí)四邊形DEFG的面積最大．
如答圖1，四邊形DEFG是一個(gè)梯形，將其面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，這個(gè)代數(shù)式是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)其最值求出未知數(shù)的值，進(jìn)而得到面積最大時(shí)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；
第2步：利用幾何性質(zhì)確定PD+PE最小的條件，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
如答圖2，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，連接D′E，與x軸交于點(diǎn)P．根據(jù)軸對稱及兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PD+PE最小．利用待定系數(shù)法求出直線D′E的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y₂=-x²+mx+b經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）與A（2-

5

，0），
∴

b=1 -(2- 5 )2+(2- 5 )m+b=0

，
解得

m=4 b=1

∴l(xiāng)：y₁=

1

2

x+1；
C′：y₂=-x²+4x+1．
∵y₂=-x²+4x+1=-（x-2）²+5，
∴y_max=5；

（2）聯(lián)立y₁與y₂得：

1

2

x+1=-x²+4x+1，解得x=0或x=

7

2

，
當(dāng)x=

7

2

時(shí)，y₁=

1

2

×

7

2

+1=

11

4

，
∴C（

7

2

，

11

4

）．
使y₂＞y₁成立的x的取值范圍為0＜x＜

7

2

，
∴s=1+2+3=6．
代入方程得(1+

1

a-1

)6+

3

6-3

=0
解得a=

1

7

；

（3）∵點(diǎn)D、E在直線l：y₁=

1

2

x+1上，
∴設(shè)D（p，

1

2

p+1），E（q，

1

2

q+1），其中q＞p＞0．
如答圖1，過點(diǎn)E作EH⊥DG于點(diǎn)H，則EH=q-p，DH=

1

2

（q-p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH²+DH²=DE²，即（q-p）²+[

1

2

（q-p）]²=（

5

）²，
解得q-p=2，即q=p+2．
∴EH=2，E（p+2，

1

2

p+2）．
當(dāng)x=p時(shí)，y₂=-p²+4p+1，
∴G（p，-p²+4p+1），
∴DG=（-p²+4p+1）-（

1

2

p+1）=-p²+

7

2

p；
當(dāng)x=p+2時(shí)，y₂=-（p+2）²+4（p+2）+1=-p²+5，
∴F（p+2，-p²+5），
∴EF=（-p²+5）-（

1

2

p+2）=-p²-

1

2

p+3．
S_{四邊形DEFG}=

1

2

（DG+EF）•EH=

1

2

[（-p²+

7

2

p）+（-p²-

1

2

p+3）]×2=-2p²+3p+3
∴當(dāng)p=

3

4

時(shí)，四邊形DEFG的面積取得最大值，
∴D（

3

4

，

11

8

）、E（

11

4

，

19

8

）．
如答圖2所示，過點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，則D′（

3

4

，-

11

8

）；

連接D′E，交x軸于點(diǎn)P，PD+PE=PD′+PE=D′E，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PD+PE最�。�
設(shè)直線D′E的解析式為：y=kx+b，
則有

3 4 k+b=- 11 8 11 4 k+b= 19 8

，
解得

k= 15 8 b=- 89 32

∴直線D′E的解析式為：y=

15

8

x-

89

32

．
令y=0，得x=

89

60

，
∴P（

89

60

，0）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、函數(shù)最值、分式方程的解、勾股定理、軸對稱-最短路線等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)眾多，難度較大．本題難點(diǎn)在于第（3）問，涉及兩個(gè)最值問題，第1個(gè)最值問題利用二次函數(shù)解決，第2個(gè)最值問題利用幾何性質(zhì)解決．