已知拋物線y=
1
4
x2，點(diǎn)M （0，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線l過(guò)點(diǎn)M交拋物線于A，B兩點(diǎn)
（1）證明：若設(shè)直線NA為y=k1x+b1，直線NB為y=k2x+b2，求證：k1+k2=0；
（2）求△ANB面積的最小值；
（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0，且m≠1），根據(jù)（1）（2）推測(cè)并回答下列問(wèn)題（不必說(shuō)明理由）：
①k1+k2=0是否成立？
②△ANB面積的最小值是多少？
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
專題：壓軸題
分析：（1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+1，聯(lián)立拋物線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出k1、k2，再求出k1+k2=0即可；
（2）根據(jù)S△ANB=S△ANM+S△BNM列式整理，再根據(jù)平方數(shù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）根據(jù)（1）（2）的解答，把點(diǎn)M（0，1）換成（0，m）解答即可．
解答：解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1），
∴設(shè)直線l的解析式為y=kx+1，
聯(lián)立
y=kx+1
y=
1
4
x2
，
解得
x1=2k-2
k2+1
y1=2k2-2k
k2+1
+1
，
x2=2k+2
k2+1
y2=2k2+2k
k2+1
+1
，
∴點(diǎn)A（2k-2
k2+1
，2k2-2k
k2+1
+1），B（2k+2
k2+1
，2k2+2k
k2+1
），
∵點(diǎn)M（0，1）與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴N（0，-1），
∴
k1(2k-2
k2+1
)+b1=2k2-2k
k2+1
+1
b1=-1
，
解得k1=k+
1
k-
k2+1
，
同理，k2=k+
1
k+
k2+1
，
∴k1+k2=k+
1
k-
k2+1
+k+
1
k+
k2+1
=2k+
k+
k2+1
+k-
k2+1
(k-
k2+1
)(k+
k2+1
)
=2k-2k=0，
即k1+k2=0；

（2）∵M(jìn)（0，1），N（0，-1），
∴MN=1-（-1）=1+1=2，
S△ANB=S△ANM+S△BNM，
=
1
2
×2×（2
k2+1
-2k+2k+2
k2+1
），
=4
k2+1
，
∵k2≥0，
∴當(dāng)k=0，即AB∥x軸時(shí)，△ANB面積的最小，最小值是4；

（3）①k1+k2=0成立；
②△ANB面積的最小值是4m
m
．
理由如下：∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，m），
∴設(shè)直線l的解析式為y=kx+m，
聯(lián)立
y=kx+m
y=
1
4
x2
，
解得
x1=2k-2
k2+m
y1=2k2-2k
k2+m
+m
，
x2=2k+2
k2+m
y2=2k2+2k
k2+m
+m
，
∴點(diǎn)A（2k-2
k2+m
，2k2-2k
k2+m
+m），B（2k+2
k2+m
，2k2+2k
k2+m
+m），
∵點(diǎn)M（0，m）與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴N（0，-m），
∴
k1(2k-2
k2+m
)+b1=2k2-2k
k2+m
+m
b1=-m
，
解得k1=k+
m
k-
k2+m
，
同理，k2=k+
m
k+
k2+m
，
∴k1+k2=k+
m
k-
k2+m
+k+
m
k+
k2+m
=2k+
m(k+
k2+m
+k-
k2+m
)
(k-
k2+m
)(k+
k2+m
)
=2k-2k=0；
②∵M(jìn)（0，m），N（0，-m），
∴MN=m-（-m）=m+m=2m，
S△ANB=S△ANM+S△BNM，
=
1
2
×2m×（2
k2+m
-2k+2k+2
k2+m
），
=4m
k2+m
，
∵k2≥0，
∴當(dāng)k=0，即AB∥x軸時(shí)，△ANB面積的最小，最小值是4m
m
．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形的面積，平方數(shù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)算過(guò)程非常麻煩，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H均在其內(nèi)部，且DE=EF=FG=GH=HB=2，∠E=∠F=∠G=∠H=60°，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（　　）
A、
10
B、2
3
C、
14
D、3
2

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AF=CE，連接DE，DF，BE，BF．四邊形DEBF為平行四邊形．
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)學(xué)思考：
（1）如圖1，已知AB∥CD，探究下面圖形中∠APC和∠PAB、∠PCD的關(guān)系，并說(shuō)明你探究的結(jié)論的正確性．
推廣延伸：
（2）①如圖2，已知AA1∥BA2，請(qǐng)你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的關(guān)系，并證明你的猜想；
②如圖3，已知AA1∥BA2，直接寫(xiě)出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn-1、∠An的關(guān)系．
拓展應(yīng)用：
（3）①如圖4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，應(yīng)為
 

A．α+β+γ    B．β+γ-α    C.180°-α-γ+β    D.180°+α+β-γ
②如圖5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，則∠GHM的大小是
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

近年來(lái)，霧霾天氣給人們的生活帶來(lái)很大影響，空氣質(zhì)量問(wèn)題倍受人們關(guān)注，某學(xué)校計(jì)劃在教室內(nèi)安裝空氣凈化裝置，需購(gòu)進(jìn)A、B兩種設(shè)備，已知：購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)A種設(shè)備和2臺(tái)B種設(shè)備需要3.5萬(wàn)元；購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)A種設(shè)備和1臺(tái)B種設(shè)備需要2.5萬(wàn)元．
（1）求每臺(tái)A種、B種設(shè)備各多少萬(wàn)元？
（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際，需購(gòu)進(jìn)A種和B種設(shè)備共30臺(tái)，總費(fèi)用不超過(guò)30萬(wàn)元，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，求至少購(gòu)買(mǎi)A種設(shè)備多少臺(tái)？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知O為直線AC上一點(diǎn)，OB為射線，OM、ON分別是∠AOB、∠COB的平分線，求∠MON的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，效果家門(mén)口的商店在裝修，他發(fā)現(xiàn)工人正在一塊半徑為R的圓形板材上，沖去半徑為r的四個(gè)小圓，小剛測(cè)得R=6.8cm，r=1.6cm，他想知道剩余陰影部分的面積，你能幫助小剛利用所學(xué)過(guò)的因式分解計(jì)算嗎？請(qǐng)寫(xiě)出利用因式分解的求解的過(guò)程（π取3）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算：
4
+（-1）2014-2sin45°+|-
2
|．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示a是非負(fù)數(shù)：
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案