【題目】如圖,△ABC的點A,C在⊙O上,⊙O與AB相交于點D,連接CD,∠A=30°,DC=.
(1)求圓心O到弦DC的距離;
(2)若∠ACB+∠ADC=180°,求證:BC是⊙O的切線.
【答案】(1);(2)詳見解析
【解析】
(1)連接OD,OC,過O作OE⊥OC于E,得到△OCD是等邊三角形,求得OD=OC=CD=,解直角三角形即可得到結(jié)論;
(2)由(1)得,△ODC是等邊三角形,求得∠OCD=60°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠A=∠BCD=30°,求得∠OCB=90°,于是得到BC是⊙O的切線.
解:(1)連接OD,OC,過O作OE⊥OC于E,
∵∠A=30°,
∴∠DOC=60°,
∵OD=OC,CD=,
∴△OCD是等邊三角形,
∴OD=OC=CD=,
∵OE⊥DC,
∴DE=,∠DEO=90°,∠DOE=30°,
∴OE=DE=,
∴圓心O到弦DC的距離為:;
(2)由(1)得,△ODC是等邊三角形,
∴∠OCD=60°,
∵∠ACB+∠ADC=180°,∠CDB+∠ADC=180°,
∴∠ACB=∠CDB,
∵∠B=∠B,
∴△ACB∽△CDB,
∴∠A=∠BCD=30°,
∴∠OCB=90°,
∴BC是⊙O的切線.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點I是△ABC的內(nèi)心,∠AIC=124°,點E在AD的延長線上,則∠CDE的度數(shù)為_____.
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【題目】如圖,過點作軸的垂線,交直線于點;點與點關(guān)于直線對稱;過點作軸的垂線,交直線于點;點與點關(guān)于直線對稱;過點作軸的垂線,交直線于點;,按此規(guī)律作下去,則點的坐標(biāo)為________.
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【題目】某公司計劃購買A,B兩種型號的機器人搬運材料.已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運30kg材料,且A型機器人搬運1000kg材料所用的時間與B型機器人搬運800kg材料所用的時間相同.
(1)求A,B兩種型號的機器人每小時分別搬運多少材料;
(2)該公司計劃采購A,B兩種型號的機器人共20臺,要求每小時搬運材料不得少于2800kg,則至少購進(jìn)A型機器人多少臺?
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【題目】已知直線y=﹣x+7a+1與直線y=2x﹣2a+4同時經(jīng)過點P,點Q是以M(0,﹣1)為圓心,MO為半徑的圓上的一個動點,則線段PQ的最小值為( 。
A.B.C.D.
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【題目】為了解中學(xué)生規(guī)范書寫漢字情況,某市語言文字工作委員會從市區(qū)初中在校生中抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,把調(diào)查的結(jié)果分為四個等級:級:優(yōu)秀;級:良好;級:合格;級:不合格,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題:
(1)求本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù);
(2)求圖中的度數(shù),并把圖補充完整;
(3)調(diào)查人員想從位同學(xué)(分別記為,其中為小明)中隨機選擇兩位同學(xué),參加中學(xué)生提高書寫漢字水平的座談會,請用列表或畫樹狀圖的方法求出選中小明的概率.
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【題目】在高爾夫球訓(xùn)練中,運動員在距球洞處擊球,其飛行路線滿足拋物線,其圖象如圖所示,其中球飛行高度為,球飛行的水平距離為,球落地時距球洞的水平距離為.
(1)求的值;
(2)若運動員再一次從此處擊球,要想讓球飛行的最大高度不變且球剛好進(jìn)洞,則球的飛行路線應(yīng)滿足怎樣的拋物線,求拋物線的解析式;
(3)若球洞處有一橫放的高的球網(wǎng),球的飛行路線仍滿足拋物線,要使球越過球網(wǎng),又不越過球洞(剛好進(jìn)洞),求的取值范圍.
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【題目】如圖1,已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE⊥BC,垂足為點E,GF⊥CD,垂足為點F.
(1)證明:四邊形CEGF是正方形;
(2)探究與證明:
將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖2所示,試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展與運用:
正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖3所示,當(dāng)B,E,F三點在一條直線上時,延長CG交AD于點H,若AG=6,GH=2,求BC的長.
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【題目】如圖,點C將線段AB分成兩部分,若AC2=BCAB(AC>BC),則稱點C為線段AB的黃金分割點.某數(shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行拋物線課題研究時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金拋物線”,類似地給出“黃金拋物線”的定義:若拋物線y=ax2+bx+c,滿足b2=ac(b≠0),則稱此拋物線為黃金拋物線.
(Ⅰ)若某黃金拋物線的對稱軸是直線x=2,且與y軸交于點(0,8),求y的最小值;
(Ⅱ)若黃金拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的頂點P為(1,3),把它向下平移后與x軸交于A(+3,0),B(x0,0),判斷原點是否是線段AB的黃金分割點,并說明理由.
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