【題目】如圖1,已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE⊥BC,垂足為點E,GF⊥CD,垂足為點F.
(1)證明:四邊形CEGF是正方形;
(2)探究與證明:
將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖2所示,試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展與運用:
正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖3所示,當B,E,F三點在一條直線上時,延長CG交AD于點H,若AG=6,GH=2,求BC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)AG=BE,理由見解析;(3)BC=3.
【解析】
(1)先說明GE⊥BC、GF⊥CD,再結(jié)合∠BCD=90°可證四邊形CEGF是矩形,再由∠ECG=45°即可證明;
(2)連接CG,證明△ACG∽△BCE,再應用相似三角形的性質(zhì)解答即可;
(3)先證△AHG∽△CHA可得,設BC=CD=AD=a,則AC=a,求出AH=a,DH=a,CH= ,最后代入即可求得a的值.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,
∵GE⊥BC、GF⊥CD,
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四邊形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,
∴EG=EC,
∴四邊形CEGF是正方形.
(2)結(jié)論:AG=BE;
理由:連接CG,
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α,
在Rt△CEG和Rt△CBA中,=cos45°=, ,
∴ ,
∴△ACG∽△BCE,
∴,
∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE;
(3)∵∠CEF=45°,點B、E、F三點共線,
∴∠BEC=135°,
∵△ACG∽△BCE,
∴∠AGC=∠BEC=135°,
∴∠AGH=∠CAH=45°,
∵∠CHA=∠AHG,
∴△AHG∽△CHA,
∴,
設BC=CD=AD=a,則AC=a,
則由,得,
∴AH=a,
則DH=AD﹣AH=a,,
∴,得 ,
解得:a=3,即BC=3.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】拋物線y=﹣x交x軸于點A,點B(6,n)為拋物線上一點.
(1)求m與n之間的函數(shù)關(guān)系;
(2)如圖,點C(﹣n,0)在x軸上,且∠BAC=2∠ACB,求m的值;
(3)在(2)的條件下,P為直線BC上方拋物線上一點,過點P作PD∥AB交x軸于點D,DE⊥BC交OP于點E,,求點P坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的點A,C在⊙O上,⊙O與AB相交于點D,連接CD,∠A=30°,DC=.
(1)求圓心O到弦DC的距離;
(2)若∠ACB+∠ADC=180°,求證:BC是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】央視“經(jīng)典詠流傳”開播以來受到社會廣泛關(guān)注.我市某校就“中華文化我傳承——地方戲曲進校園”的喜愛情況進行了隨機調(diào)查,對收集的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩副尚不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖所提供的信息解答下列問題:
圖中A表示“很喜歡”,B表示“喜歡”,C表示“一般”,D表示“不喜歡”.
(1)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是_____________人,扇形統(tǒng)計圖中C部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)為_______.
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有學生1800人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計該校學生中A類有__________人;
(4)在抽取的A類5人中,剛好有3個女生2個男生,從中隨機抽取兩個同學擔任兩角色,用樹形圖或列表法求出被抽到的兩個學生性別相同的概率.
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【題目】“樹德之聲”結(jié)束后,王老師和李老師整理了所有參賽選手的比賽成績(單位:分),繪制成如圖頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計圖:
(1)求本次比賽參賽選手總?cè)藬?shù),并補全頻數(shù)直方圖;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中扇形D的圓心角度數(shù);
(3)成績在D區(qū)域的選手中,男生比女生多一人,從中隨機抽取兩人,求恰好選中一名男生和一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】央視熱播節(jié)目“朗讀者”激發(fā)了學生的閱讀興趣.某校為滿足學生的閱讀需求,欲購進一批學生喜歡的圖書,學校組織學生會成員隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查,被調(diào)查學生須從“文史類、社科類、小說類、生活類”中選擇自己喜歡的一類,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了統(tǒng)計圖(未完成),
請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)將圖1的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)圖2中“小說類”所在扇形的圓心角為___________度;
(3)若該校共有學生2500人,估計該校喜歡“社科類”書籍的學生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一幢樓的樓頂端掛著一幅長10米的宣傳條幅AB,某數(shù)學興趣小組在一次活動中,準備測量該樓的高度,但被建筑物FGHM擋住,不能直接到達樓的底部,他們在點D處測得條幅頂端A的仰角∠CDA=45°,向后退8米到E點,測得條幅底端B的仰角∠CEB=30°(點C,D,E在同一直線上,EC⊥AC).請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫助該興趣小組計算樓高AC(結(jié)果精確到0.01米,參考數(shù)據(jù):≈1.732,≈1.414).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,菱形的頂點在坐標原點,邊在軸的負半軸上,,頂點的坐標為,反比例函數(shù)的圖象與菱形對角線交于點,連接、,當軸時,點坐標為________,的值是_____.
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