【題目】如圖,點C將線段AB分成兩部分,若AC2=BCAB(AC>BC),則稱點C為線段AB的黃金分割點.某數(shù)學(xué)興趣小組在進行拋物線課題研究時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金拋物線”,類似地給出“黃金拋物線”的定義:若拋物線y=ax2+bx+c,滿足b2=ac(b≠0),則稱此拋物線為黃金拋物線.
(Ⅰ)若某黃金拋物線的對稱軸是直線x=2,且與y軸交于點(0,8),求y的最小值;
(Ⅱ)若黃金拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的頂點P為(1,3),把它向下平移后與x軸交于A(+3,0),B(x0,0),判斷原點是否是線段AB的黃金分割點,并說明理由.
【答案】(Ⅰ)y有最小值為6;(Ⅱ)原點是線段AB的黃金分割點,理由見解析.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)對稱軸確定a和b的關(guān)系,再根據(jù)已知條件即可求解;
(Ⅱ)根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)確定x0的值,再根據(jù)黃金分割的定義即可判斷.
(Ⅰ)∵黃金拋物線的對稱軸是直線x=2,
∴﹣=2,
∴b=﹣4a,又b2=ac
∴16a2=ac.
且與y軸交于點(0,8),
∴c=8.
∴a=,b=﹣2.
∴y=x2﹣2x+8
=(x﹣2)2+6,
∵>0,
∴y有最小值為6.
(Ⅱ)原點是線段AB的黃金分割點.理由如下:
∵黃金拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的頂點P為(1,3),
把它向下平移后與x軸交于A(+3,0),B(x0,0),
∴x0=﹣1﹣.
∴OA=3+,OB=1+,AB=4+2.
OA2=(3+)2=14+6.
OBAB=(1+ )(4+2)=14+6.
∴OA2=OBAB.
∴原點是線段AB的黃金分割點.
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【題目】如圖,△ABC的點A,C在⊙O上,⊙O與AB相交于點D,連接CD,∠A=30°,DC=.
(1)求圓心O到弦DC的距離;
(2)若∠ACB+∠ADC=180°,求證:BC是⊙O的切線.
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【題目】如圖,兩建筑物的水平距離為,從點測得點的俯角為,測得點的俯角為,求這兩個建筑物的高度.(結(jié)果保留整數(shù))
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【題目】一幢樓的樓頂端掛著一幅長10米的宣傳條幅AB,某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中,準備測量該樓的高度,但被建筑物FGHM擋住,不能直接到達樓的底部,他們在點D處測得條幅頂端A的仰角∠CDA=45°,向后退8米到E點,測得條幅底端B的仰角∠CEB=30°(點C,D,E在同一直線上,EC⊥AC).請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫助該興趣小組計算樓高AC(結(jié)果精確到0.01米,參考數(shù)據(jù):≈1.732,≈1.414).
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【題目】如圖 ,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=,將△ABC 繞點 A 順時針方向旋轉(zhuǎn) 60°得到△A′B′C′的位置,連接 C′B,則 C′B 的長為 ( )
A.2-B.C.D.1
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【題目】如圖,小明利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量某建筑物BC高度,采用了如下的方法:小明從與某建筑物底端B在同一水平線上的A點出發(fā),先沿斜坡AD行走260米至坡頂D處,再從D處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至點E處,在E點測得該建筑物頂端C的仰角為72°,建筑物底端B的俯角為63°,其中點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi),斜坡AD的坡度i=1:2.4,根據(jù)小明的測量數(shù)據(jù),計算得出建筑物BC的高度約為( )米(計算結(jié)果精DE確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,tan72°≈3.08,sin63°≈0.89,tan63°≈1.96)
A.157.1 B.157.4 C.257.4 D.257.1
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【題目】設(shè)是任意兩個不等實數(shù),我們規(guī)定:滿足不等式的實數(shù)的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為.對于一個函數(shù),如果它的自變量與函數(shù)值滿足:當(dāng)時,有,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”.如函數(shù),當(dāng)時,;當(dāng)時,,即當(dāng)時,有,所以說函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”
(1)反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎?請判斷并說明理由;
(2)若二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”,求的值;
(3)若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”,求此函數(shù)的表達式(可用含的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形的頂點在坐標(biāo)原點,邊在軸的負半軸上,,頂點的坐標(biāo)為,反比例函數(shù)的圖象與菱形對角線交于點,連接、,當(dāng)軸時,點坐標(biāo)為________,的值是_____.
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【題目】如圖,點,在反比例函數(shù)的圖象上,軸于點,軸于點,.
(1)求,的值和反比例函數(shù)的解析式;
(2)連接,是線段上一點,過點作軸的垂線,交反比例函數(shù)圖象于點,若,求點的坐標(biāo).
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