Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（x-m）²+6x=4m-3有兩實(shí)數(shù)根，
（1）求m的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x₁、x₂，求代數(shù)式x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）先把方程化為一般式，然后根據(jù)判別式的意義得到△=4（m-3）²-4（m²-4m+3）≥0，再解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（m-3），x₁•x₂=m²-4m+3，再利用完全平方公式變形x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

得到-（x₁+x₂）²+3x₁x₂，再把根與系數(shù)的關(guān)系代入得到-4（m-3）²+3（m²-4m+3）=-m²+12m-27，然后配方得到x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

=-（m-6）²+9，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求最大值．

解答：解：（1）方程化為一般式得x²-2（m-3）x+m²-4m+3=0，
根據(jù)題意得△=4（m-3）²-4（m²-4m+3）≥0，
解得：m≤3；

（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2（m-3），x₁•x₂=m²-4m+3，
所以x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

=-（x₁+x₂）²+3x₁x₂=-4（m-3）²+3（m²-4m+3）
=-m²+12m-27
=-（m-6）²+9，
∵-（m-6）²≤0，
∴-（m-6）²+9≤9，
∴代數(shù)式x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

 的最大值為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．