【題目】在△ABC中,AB=AC,點D為射線CB上一個動點(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,過點E作EF∥BC,交直線AC于點F,連接CE.
⑴如圖1,若∠BAC=60°,求證:△CEF是等邊三角形.
⑵若∠BAC<60°.
①如圖2,當點D在線段CB上移動時,判斷△CEF為等腰三角形并證明;
②當點D在線段CB的延長線上移動時,△CEF是什么三角形?請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形并直接寫出結(jié)論(不必證明).
【答案】(1)見解析;(2)①證明見解析;②△CEF為等腰三角形,證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意推出△ABC為等邊三角形,然后通過求證△ABD≌△ACE,結(jié)合平行線的性質(zhì),即可證得結(jié)論;
(2)①根據(jù)(1)的推理依據(jù),求證△ABD≌△ACE,結(jié)合平行線的性質(zhì),即可證得結(jié)論;
②根據(jù)題意畫出圖形,利用(1)的推理依據(jù),求證△ABD≌△ACE,再利用等角的補角相等,,結(jié)合平行線的性質(zhì),即可證得結(jié)論.
證明:⑴ ∵AB=AC,∠BAC=60
∴△ABC為等邊三角形,
在△ABD和△ACE中:
∠BAD=60-∠DAC
∠CAE=60O-∠DAC
∴ ∠BAD=∠CAE
又∵AB=AC,AD=AE
∴△ABD≌△ACE
∴∠ACE= ∠ABD=60
又∵ EF∥BC
∴∠EFC= ∠ACB=60
∴∠FEC=60
∴△CEF是等邊三角形
⑵ ①△CEF為等腰三角形,理由如下:
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
在△ABD和△ACE中:
∠BAD=∠BAC-∠DAC
∠CAE=∠DAE-∠DAC
而∠DAE=∠BAC
∴ ∠BAD=∠CAE
又∵AB=AC,AD=AE
∴△ABD≌△ACE
∴∠ABC=∠ACE
又∵EF∥BC
∴ ∠EFC= ∠ACB
而∠ABC=∠ACB
∴∠EFC= ∠ECF
所以,△CEF為等腰三角形.
②當點D在線段CB的延長線上時 ,
△CEF為等腰三角形,如圖3
理由如下:
∵AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB
在△ABD和△ACE中:
∠BAD=∠DAE -∠BAE
∠CAE=∠BAC -∠BAE
而∠DAE=∠BAC
∴ ∠BAD=∠CAE
又∵AB=AC,AD=AE
∴△ABD≌△ACE
∴∠ABD=∠ACE
∴∠ABC=∠ECF (等角的補角相等)
又∵EF∥BC
∴∠EFC= ∠ACB
而∠ABC=∠ACB
∴∠EFC= ∠ECF
所以,△CEF為等腰三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形(如圖2).
(1)圖2中的陰影部分的面積為 ;
(2)觀察圖2請你寫出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之間的等量關(guān)系是 ;
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,若x+y=7,xy=,則x﹣y= ;
(4)實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式.根據(jù)圖3,寫出一個因式分解的等式 .
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【題目】如圖(十九),用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框,不計螺絲大小,其中相鄰兩螺絲的距離依序為2、3、4、6,且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整。若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框,則任兩螺絲的距離之最大值為何?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 10
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【題目】(2017貴州省遵義市)如圖,拋物線(a<0,a、b為常數(shù))與x軸交于A、C兩點,與y軸交于B點,直線AB的函數(shù)關(guān)系式為.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點坐標;
(2)已知點M(m,0)是線段OA上的一個動點,過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點,當m為何值時,△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形?
(3)在(2)問條件下,當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時,動點M相應(yīng)位置記為點M′,將OM′繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到ON(旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間);
①探究:線段OB上是否存在定點P(P不與O、B重合),無論ON如何旋轉(zhuǎn),始終保持不變,若存在,試求出P點坐標;若不存在,請說明理由;
②試求出此旋轉(zhuǎn)過程中,(NA+NB)的最小值.
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【題目】如圖,∠AOB=60°,點M,N分別是射線OA,OB上的動點,OP平分∠AOB,OP=8,當△PMN周長取最小值時,△OMN的面積為_____.
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【題目】已知拋物線與軸交于、兩點(點在點左側(cè)),是拋物線外一點,在拋物線的對稱軸上存在一點,使得值最大,則點坐標是________.
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【題目】在平面內(nèi),給定∠AOB=60°,及OB邊上一點C,如圖所示.到射線OA,OB距離相等的所有點組成圖形G,線段OC的垂直平分線交圖形G于點D,連接CD.
(1)依題意補全圖形;直接寫出∠DCO的度數(shù);
(2)過點D作OD的垂線,交OA于點E,OB于點F.求證:CF=DE.
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【題目】某學校計劃在總費用2300元的限額內(nèi),租用客車送234名學生和6名教師集體外出活動,每輛客車上至少要有1名教師.現(xiàn)有甲、乙兩種大客車,它們的載客量和租金如下表所示.
甲種客車 | 乙種客車 | |
載客量/(人/輛) | 45 | 30 |
租金/(元/輛) | 400 | 280 |
(1)共需租多少輛客車?
(2)請給出最節(jié)省費用的租車方案.
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