Question

【題目】已知二次函數(shù)y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m為常數(shù)，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)該函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x12+x22=25，求m的值；
（3）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC的面積為1，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，

△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，

∵a≠0，

∴a2＞0，

∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)

（2）解：y=0，則a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，

解得x1=m，x2=m+1，

∵x12+x22=25，

∴m2+（m+1）2=25，

解得m1=﹣4，m2=3．

故m的值為﹣4或3

（3）解：∵x1=m，x2=m+1，

∴AB=（m+1）﹣m=1，

y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣ ）2﹣ ，

△ABC的面積= ×1×|﹣ |=1，

解得a=±8．

故a的值是±8

【解析】（1）把（x-m）看作一個(gè)整體，令y=0，利用根的判別式進(jìn)行判斷數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出x1=m，x2=m+1，根據(jù)x12+x22=25，代入得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AB，再把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式形式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可求出a的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用根與系數(shù)的關(guān)系和三角形的面積的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；三角形的面積=1/2×底×高．