Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（10，0），OB=OC．點P從C點出發(fā)，沿線段CO以5個單位/秒的速度向終點O勻速運動，過點P作PH⊥OB，垂足為H．
（1）求點B的坐標；
（2）設△HBP的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式；當t為何值時，△HBP的面積最大，并求出最大面積；
（3）分別以P、H為圓心，PC、HB為半徑作⊙P和⊙H，當兩圓外切時，求此時t的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作BN⊥OC，垂足為N，根據已知，B點的縱坐標等于A點的縱坐標．由OC=OB，根據勾股定理求得B的橫坐標，即可得出B點坐標；
（2）首先根據△BON∽△POH對應邊成比例，用含t的式子表示出OP=10-5t OH=6-3t PH=8-4t，BH=3t+4，根據三角形的面積公式即可得出S與t之間的函數關系式進而得出答案；
（3）根據兩圓外切的性質得出HB+PC=HP，從而得出根據t的方程，解方程即可求得t的值．

解答：解：（1）如圖，作BN⊥OC，垂足為N
由題意知 OB=OC=10，BN=OA=8
∴ON=

OB2-BN2

=6
∴B（6，8）；

（2）如圖，∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°
∴△BON∽△POH
∴

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

，
∵PC=5t，
∴OP=10-5t  OH=6-3t  PH=8-4t
∴BH=OB-OH=3t+4
∴S=

1

2

（3t+4）（8-4t）=-6t²+4t+16=-6（t-

1

3

）²+

50

3

（0≤t＜2），
∵a=-6＜0，
∴當t=

1

3

時，S_最大=

50

3

，
∵t=

1

3

滿足0≤t＜2，
∴當t=

1

3

時，△HBP的面積最大，最大面積是

50

3

，

（3）由題意知⊙P和⊙H兩圓外切，
∴HB+PC=HP
即：（3t+4）+5t=8-4t
解得t=

1

3

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理以及兩圓外切的性質，平面直角坐標系等知識點，要注意（2）中，用含t的式子表示出線段，從而得出S與t的函數關系式．