【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC.
(1)如圖1,若O為AB的中點(diǎn),以O為圓心,OB為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過D作DE⊥AC,垂足為E.
①試說明:BD=CD;
②判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)如圖2,若點(diǎn)O沿OB向點(diǎn)B移動,以O為圓心,以OB為半徑作⊙O與AC相切于點(diǎn)F,與AB相交于點(diǎn)G,與BC相交于點(diǎn)D,DE⊥AC,垂足為E,已知⊙O的半徑長為4,CE=2,求切線AF的長.
【答案】(1)①證明見解析;②直線DE與⊙O相切,理由見解析;(2)AF=3.
【解析】
(1)①連接AD,已知AB是⊙O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可得∠ADB=90°,即AD⊥BC;再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論;(2)直線DE與⊙O相切,連接OD,已知AB=AC、OB=OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODB=∠B=∠C,即可判定OD∥BC,由DE⊥AC可得DE⊥OD,由此即可判定DE與⊙O相切;(2)根據(jù)已知條件易證四邊形ODEF是矩形,即可得OD=EF=4;設(shè)AF=x,則AB=AC=x+6,AO =x+2,在Rt△AOF中,利用勾股定理列出方程(x+2)2=x2+42,解方程求得x的值,即可求得AF的長.
(1)①連接AD,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD;
②直線DE與⊙O相切,
理由:連接OD,
∵AB=AC,OB=OD,
∴∠ODB=∠B=∠C,
∴OD∥BC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE與⊙O相切;
(2)由(1)同理得,DE與⊙O相切,
連接OF,
∵EF與⊙O相切,DE⊥AC,
∴∠ODE=∠OFE=∠EDF=90°,即四邊形ODEF是矩形,
∴OD=EF=4,
設(shè)AF=x,則AB=AC=x+6,AO=x+6﹣4=x+2,
在Rt△AOF中,
(x+2)2=x2+42,
解得,x=3,
即AF=3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=mx2+(3–2m)x+m–2(m≠0)與x軸有兩個不同的交點(diǎn).
(1)求m的取值范圍;
(2)判斷點(diǎn)P(1,1)是否在拋物線上;
(3)當(dāng)m=1時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角標(biāo)系xOy中,以O為位似中心,將邊長為8的等邊三角形OAB作n次位似變換,經(jīng)第一次變換后得到等邊三角形OA1B1,其邊長OA1縮小為OA的,經(jīng)第二次變換后得到等邊三角形OA2B2,其邊長OA2縮小為OA1的,經(jīng)第三次變換后得到等邊三角形OA3B3,其邊長OA3縮小為OA2的,…按此規(guī)律,經(jīng)第n次變換后,所得等邊出角形OAnBn.的頂點(diǎn)An的坐標(biāo)為(,0),則n的值是( 。
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn),PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.給出以下四個結(jié)論:
①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四邊形AEPF=S△ABC;
④EF=AP.上述結(jié)論正確的有_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x軸,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(3)若△ABC的面積為2,當(dāng)2m﹣5≤x≤2m﹣2時(shí),y的最大值為2,求m的值.
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)(,),且圖象與x軸的另一交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則該二次函數(shù)解析式為 .
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【題目】如圖,是甲、乙兩種機(jī)器人根據(jù)電腦程序工作時(shí)各自工作量y關(guān)于工作時(shí)間x的函數(shù)圖像,線段OA表示甲機(jī)器人的工作量(噸)關(guān)于時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)圖像,線段BC表示乙機(jī)器人的工作量(噸)關(guān)于時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)圖像.根據(jù)圖像信息回答下列填空題.
(1)甲種機(jī)器人比乙種機(jī)器人早開始工作 小時(shí);甲種機(jī)器人每小時(shí)的工作量是 噸;
(2)直線BC的表達(dá)式為 ;當(dāng)乙種機(jī)器人工作5小時(shí)后,它完成的工作量是 噸.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,是外一點(diǎn),過點(diǎn)做的兩條切線,切點(diǎn)分別為.若,則點(diǎn)叫做的切角點(diǎn).
(1)如圖②,的半徑是1,點(diǎn)O到直線的距離為2.若點(diǎn)是的切角點(diǎn),且點(diǎn)在直線上,請用尺規(guī)作出點(diǎn);(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)如圖③,在中,,,,是的內(nèi)切圓.若點(diǎn)是的切角點(diǎn),且點(diǎn)在的邊上,求的長.
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【題目】某商品的進(jìn)價(jià)為每件50元.當(dāng)售價(jià)為每件70元時(shí),每星期可賣出300件,現(xiàn)需降價(jià)處理,且經(jīng)市場調(diào)查:每降價(jià)1元,每星期可多賣出20件.在確保盈利的前提下,解答下列問題:
(1)若設(shè)每件降價(jià)x元、每星期售出商品的利潤為y元,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)降價(jià)多少元時(shí),每星期的利潤最大?最大利潤是多少?
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