Question

閱讀下列材料：

問題：在平面直角坐標(biāo)系中，一張矩形紙片OBCD按圖1所示放置。已知OB=10，BC=6，

將這張紙片折疊，使點(diǎn)O落在邊CD上，記作點(diǎn)A，折痕與邊OD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)E，與邊OB（含端點(diǎn)）或其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

小明在解決這個(gè)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)：要求點(diǎn)A的坐標(biāo)，只要求出線段AD的長(zhǎng)即可，連接OA，設(shè)折痕EF所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，于是有，所以在Rt△EOF中，得到，在Rt△AOD中，利用等角的三角函數(shù)值相等，就可以求出線段DA的長(zhǎng)（如圖1）

請(qǐng)回答：

（1）如圖1，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）在圖2中，已知點(diǎn)O落在邊CD上的點(diǎn)A處，請(qǐng)畫出折痕所在的直線EF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；

參考小明的做法，解決以下問題：

（3）將矩形沿直線折疊，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（4）將矩形沿直線折疊，點(diǎn)F在邊OB上（含端點(diǎn)），直接寫出的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）作圖見解析；（3）（3，6）；（4）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.

（2）作AD的垂直平分線交OD于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，連接EF，EF即為所求.

（3）過點(diǎn)F作FG⊥DC于點(diǎn)G，通過證明△AEF≌△OEF和△DAE∽△GFAF，根據(jù)全等三角形和相似三角形的性質(zhì)求解.

（4）由于題意中，與k有關(guān)的是tan∠AOD，即與Rt△AOD有關(guān)，所以我們求解k的取值范圍可以轉(zhuǎn)化為求DA的長(zhǎng)度的范圍.

試題解析：（1）∵根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)，AE=OE=4，DE=2，

∴根據(jù)勾股定理，得.

∴.

（2）作圖如下：

（3）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥DC于點(diǎn)G，

∵EF的解析式為，

∴.∴OE=n，OF=2n.

∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=2n.

∵點(diǎn)A在DC上，且∠EAF=900，∴∠1+∠2=900.

又∵∠2+∠3==900，∴∠1=∠2.

∴△DAE∽△GFAF.∴.

又∵FG=CB=6，∴.∴DA=3.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6）.

（4）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥DC于點(diǎn)G，

∵EF的解析式為，

∴.∴OE=n，OF=.

∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=.

∵點(diǎn)A在DC上，且∠EAF=900，∴∠1+∠2=900.

又∵∠2+∠3==900，∴∠1=∠2.

∴△DAE∽△GFAF.∴.

又∵FG=CB=6，∴.∴DA=.

當(dāng)DA最小時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，此時(shí)AF=OB=10，BC=6，得AC=8，DA=2，即；

當(dāng)DA最大時(shí)，DA=OD=6，即.

∴.

考點(diǎn)：1.閱讀理解型的實(shí)踐操作題；2.折疊問題；3.矩形的性質(zhì)；4.勾股定理；5.全相似三角形的判定和性質(zhì).