Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，BC=AC，∠BAC的平分線AD的與⊙O交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，H是CD的中點(diǎn)，連接OH．
（1）試探究AB、AC、AE三條線段之間的等量關(guān)系式；
（2）OH•DE=

2- 2

2

，求⊙O的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理,垂徑定理,圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）如圖1，易證△ACE≌△BCF（ASA），則有AE=BF；易證△ADF≌△ADB，則有AF=AB，DF=DB．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠CDF=∠BAF，從而可證到△FCD∽△FBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得FD•FB=FC•FA，然后通過等量代換就可得到AB、AC、AE之間的等量關(guān)系．
（2）過點(diǎn)O作OG⊥BD于G，連接OC，如圖2，由垂徑定理可得G為BD的中點(diǎn)．根據(jù)三角形中位線定理可得AD=2OG．然后根據(jù)勾股定理可證到OH=OG，從而有AD=2OH．然后通過證明△BDE∽△ADB得到BD²=AD•DE，再根據(jù)條件可求出AE²．設(shè)AC=x，則BC=x，AB=

2

x，然后利用（1）中已證出的AB、AC、AE之間的等量關(guān)系，得到關(guān)于x的方程，求出x²，進(jìn)而可求出⊙O的面積．

解答：解：（1）如圖1，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在△ACE和△BCF中，

∠ACE=∠BCF=90° AC=BC ∠CAE=∠CBF

，
∴△ACE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF．
在△ADF和△ADB中，

∠FAD=∠BAD AD=AD ∠ADF=∠ADB

，
∴△ADF≌△ADB，
∴AF=AB，DF=DB．
∵A、B、D、C四點(diǎn)共圓，
∴∠CDF=∠BAF．
∵∠F=∠F，
∴△FCD∽△FBA，
∴

FD

FA

=

FC

FB

，即FD•FB=FC•FA，
∵FB=AE，F(xiàn)D=

1

2

BF=

1

2

AE，F(xiàn)A=AB，F(xiàn)C=FA-AC=AB-AC，
∴

1

2

AE²=（AB-AC）•AB，
∴AE²=2（AB-AC）•AB=2AB²-2AC•AB．

（2）過點(diǎn)O作OG⊥BD于G，連接OC，如圖2，
由垂徑定理可得G為BD的中點(diǎn)．
∵O為AB的中點(diǎn)，G為BD的中點(diǎn)，
∴OG=

1

2

AD，即AD=2OG．
∵∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
∴CH=BG．
∵OH²=OC²-CH²，OG²=OB²-GB²，OC=OB，
∴OH=OG，
∴AD=2OG=2OH．
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∠EDB=∠BDA，
∴△BDE∽△ADB，
∴

BD

AD

=

DE

DB

，即BD²=AD•DE，
∴BD²=2OH•DE．
∵OH•DE=

2- 2

2

，
∴BD²=2-

2

．
∵AE=BF=2BD，
∴AE²=4BD²=8-4

2

．
設(shè)AC=x，則BC=x，AB=

2

x．
∵AE²=2AB²-2AC•AB，
∴8-4

2

=4x²-2

2

x²=（4-2

2

）x²，
∴x²=2，
∴S_⊙O=π•（

AB

2

）²=π•（

2 x

2

）²=

π

2

x²=π．
∴⊙O的面積為π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．