Question

如圖，以點(diǎn)P（﹣1，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），AD=2，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△MCB．

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）請在圖中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）動直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時停止，設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG．請問在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數(shù)；若變化，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接PA，如圖1所示．

∵PO⊥AD，

∴AO=DO．

∵AD=2，

∴OA=．

∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OP=1．

∴PA==2．

∴BP=CP=2．

∴B（﹣3，0），C（1，0）．

 

（2）連接AP，延長AP交⊙P于點(diǎn)M，連接MB、MC．

如圖2所示，線段MB、MC即為所求作．

四邊形ACMB是矩形．

理由如下：

∵△MCB由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得，

∴四邊形ACMB是平行四邊形．

∵BC是⊙P的直徑，

∴∠CAB=90°．

∴平行四邊形ACMB是矩形．

過點(diǎn)M作MH⊥BC，垂足為H，如圖2所示．

在△MHP和△AOP中，

∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，

∴△MHP≌△AOP．

∴MH=OA=，PH=PO=1．

∴OH=2．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，）．

 

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變．

∵四邊形ACMB是矩形，

∴∠BMC=90°．

∵EG⊥BO，

∴∠BGE=90°．

∴∠BMC=∠BGE=90°．

∵點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn)，

∴QM=QE=QB=QG．

∴點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示．

∴∠MQG=2∠MBG．

∵∠COA=90°，OC=1，OA=，

∴tan∠OCA==．

∴∠OCA=60°．

∴∠MBC=∠BCA=60°．

∴∠MQG=120°．

∴在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變，始終等于120°．