【題目】如圖,已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,

(1)求k的值;

(2)根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍;

(3)過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=(k>0)于P、Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限),若由點(diǎn)A、P、B、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為224,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)32;(2)x<﹣4或0<x<4;(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(﹣7+,14+2);或P(7+,﹣14+2).

【解析】

(1)先將x=4代入正比例函數(shù)y=2x,可得出y=8,求得點(diǎn)A(4,8),再根據(jù)點(diǎn)AB關(guān)于原點(diǎn)對稱,得出B點(diǎn)坐標(biāo),即可得出k的值;

(2)正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值即正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方,根據(jù)圖形可知在交點(diǎn)的右邊正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

(3)由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形,因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形,那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即56.可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),然后表示出△POA的面積,由于△POA的面積為56,由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=2x上,

把x=4代入正比例函數(shù)y=2x,

解得y=8,點(diǎn)A(4,8),

把點(diǎn)A(4,8)代入反比例函數(shù)y=,得k=32,

(2)∵點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱,

B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,﹣8),

由交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍,x<﹣8或0<x<8;

(3)∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對稱圖形,

∴OP=OQ,OA=OB,

四邊形APBQ是平行四邊形,

SPOA=S平行四邊形APBQ×=×224=56,

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>0且m≠4),

得P(m,),

過點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線,垂足為E、F,

點(diǎn)P、A在雙曲線上,

∴SPOE=SAOF=16,

若0<m<4,如圖,

∵SPOE+S梯形PEFA=SPOA+SAOF,

∴S梯形PEFA=SPOA=56.

(8+)(4﹣m)=56.

m1=﹣7+3,m2=﹣7﹣3(舍去),

P(﹣7+3,16+);

若m>4,如圖,

∵SAOF+S梯形AFEP=SAOP+SPOE,

∴S梯形PEFA=SPOA=56.

×(8+)(m﹣4)=56,

解得m1=7+3,m2=7﹣3(舍去),

∴P(7+3,﹣16+).

<>點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(﹣7+3,16+);或P(7+3,﹣16+).

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2)買30盒乒乓球時,在哪家商店購買合算?

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