Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，分別過點(diǎn)B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F．
（1）如圖①，請(qǐng)?zhí)骄緽E、DF、EF這三條線段的長(zhǎng)度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（2）若點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上，如圖②，那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（3）若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上，如圖③，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）在圖①中BE、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：BE-DF=EF，理由為：由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一對(duì)直角相等，再由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD，且∠BAD為直角，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用AAS得到三角形ABE與三角形DFA全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=AF，AE=DF，根據(jù)AF-AE=EF，等量代換即可得證；
（2）在圖②中BE、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：DF-BE=EF，理由同（1）；
（3）在圖③中BE、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：DF+BE=EF，理由同（1）．

解答：解：（1）在圖①中BE、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：BE-DF=EF；
證明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE-AF=EF，
∴DF-BE=EF．

（2）在圖②中BE、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：DF-BE=EF；
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE-AF=EF，
∴DF-BE=EF．

（3）在圖③中BE、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：DF+BE=EF，
理由為：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE+AF=EF，
∴DF+BE=EF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．