Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（

2

，

2

），以點(diǎn)M為圓心，OM長為半徑作⊙M．使⊙M與直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與x軸，y軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A（如圖），連接AM．點(diǎn)P是

AB

上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）寫出∠AMB的度數(shù)；
（2）點(diǎn)Q在射線OP上，且OP•OQ=20，過點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點(diǎn)E．
①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②連接QD，設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，△QOD的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）首先過點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，由點(diǎn)M（

2

，

2

），可得∠MOH=45°，OH=MH=

2

，繼而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得∠AMB的度數(shù)；
（2）①由OH=MH=

2

，MH⊥OD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長，又由動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP•OQ=20，可求得OQ的長，繼而求得答案；
②由OD=2

2

，Q的縱坐標(biāo)為t，即可得S=

1

2

×2

2

t=

2

t，然后分別從當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，與當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）過點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)M（

2

，

2

），
∴OH=MH=

2

，
∴∠MOD=45°，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOM=45°，
∵OM=AM，
∴∠OAM=∠AOM=45°，
∴∠AMO=90°，
∴∠AMB=90°；

（2）①∵OH=MH=

2

，MH⊥OD，
∴OM=

MH2+OH2

=2，OD=2OH=2

2

，
∴OB=4，
∵動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OQE=90°，∠POE=45°，
∴OE=5

2

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（5

2

，0）

②∵OD=2

2

，Q的縱坐標(biāo)為t，
∴S=

1

2

×2

2

t=

2

t．
如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，
∵OP=4，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，
∴t=QF=

5 2

2

，
此時(shí)S=

2

×

5 2

2

=5；
如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，
∴OP=2

2

，
∵OP•OQ=20，
∴t=OQ=5

2

，
此時(shí)S=

2

×5

2

=10；
∴S的取值范圍為5≤S≤10．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．