Question

已知：關(guān)于x的方程x²-（k+3）x+3k=0的兩根為α，β．
（1）是否存在實數(shù)k使

1

α

+

1

β

=

2

3

成立？若成立，求k的值；若不成立，說明理由；
（2）若Rt△ABC的一邊長為4，另兩邊長恰好是此方程的兩根α，β，求Rt△ABC的周長．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=k+3，αβ=-3k，再由

1

α

+

1

β

=

2

3

變形得

α+β

αβ

=

2

3

，所以

k+3

-3k

=

2

3

，然后解方程求出k的值；
（2）先利用因式分解法解方程x²-（k+3）x+3k=0得α=k，β=3，然后分類討論：當4為斜邊或當4為直角邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系求出對應(yīng)的k的值，再計算三角形的周長．

解答：解：（1）存在．
∵α+β=k+3，αβ=-3k，
而

1

α

+

1

β

=

2

3

，
∴

α+β

αβ

=

2

3

，
∴

k+3

-3k

=

2

3

，解得k=-1，
當k=-1時△＞0，
∴實數(shù)k=1使

1

α

+

1

β

=

2

3

成立；
（2）解方程x²-（k+3）x+3k=0得α=k，β=3，
當4為斜邊時，α²+β²=4²，即k²+3²=16，解得k₁=

7

，k₂=-

7

（舍去），此時Rt△ABC的周長=4+3+

7

=7+

7

；
當4為直角邊時，4²+β²=k²，即k²+3²=16，解得k₁=5，k₂=-5（舍去），此時Rt△ABC的周長=4+3+5=12．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了勾股定理．