Question

已知直線(xiàn)AB：y=-

1

2

x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，y軸上點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，連接CM．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△COM的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（并標(biāo)出自變量的取值范圍）
（3）直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CM相交于點(diǎn)N，點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，且始終保持PM+PN最短，當(dāng)t為何值時(shí)，△COM≌△AOB，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由直線(xiàn)L的函數(shù)解析式，令y=0求A點(diǎn)坐標(biāo)，x=0求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由面積公式S=

1

2

×|OM|×|OC|，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若△COM≌△AOB，OM=OB則t時(shí)間內(nèi)移動(dòng)了AM，可算出t值，并得到M′和M″點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)M′的坐標(biāo)和C的坐標(biāo)求得直線(xiàn)CM′的解析式，再結(jié)合直線(xiàn)AB
的解析式求得交點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)N的坐標(biāo)和M″的坐標(biāo)求得直線(xiàn)NM″的解析式，即可求得與y軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；

解答：解：（1）對(duì)于直線(xiàn)AB：：y=-

1

2

x+5
當(dāng)x=0時(shí)，y=5；當(dāng)y=0時(shí)，x=10，
則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（10，0）、B（0，5）；

（2）∵C（0，10），A（10，0）
∴OC=OA=10，
當(dāng)0≤t≤10時(shí)，OM=OA-AM=10-t，S_△OCM=

1

2

×10×（10-t）=50-5t；
當(dāng)t＞10時(shí)，OM=AM-OA=t-10，S_△OCM=

1

2

×10×（t-10）=5t-50；
∴S=

50-5t(0≤t≤10) 5t-50(t＞10)

；

（3）分為兩種情況：①當(dāng)M在OA上時(shí)，OB=OM=5，△COM≌△AOB．
∴AM=OA-OM=10-5=5
∴動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左移動(dòng)5個(gè)單位，所需要的時(shí)間是5秒鐘；
M′（5，0），
②當(dāng)M在AO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，OM=OB=5，
則M″（-5，0），
∴動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左移動(dòng)15個(gè)單位，所需要的時(shí)間是15秒鐘；
連接M″N交y軸于P，
∴當(dāng)t為5或15時(shí)，△COM≌△AOB，
∵C（0，10），M′（5，0），
∴直線(xiàn)CM′為：y=-2x+10，
由

y=- 1 2 x+5 y=-2x+10

解得

x= 10 3 y= 10 3

，
∴N（

10

3

，

10

3

），
∵M(jìn)″（-5，0），
∴直線(xiàn)M″N為y=

2

5

x+2，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同學(xué)們根據(jù)函數(shù)圖象求坐標(biāo)，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)變化求函數(shù)關(guān)系式，以及等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)思想的運(yùn)用．