Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F使CF＝AE．

（1）求證：≌．

（2）把向左平移，使與重合，得，交于點(diǎn)．請(qǐng)判斷AH與ED的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）求的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）AH⊥ED．（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)推出∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，根據(jù)SAS即可證出答案；

（2）AH⊥ED，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)可證明△ADE≌△CDF，所以得到∠EDF=90°．再由已知條件AH∥DF，利用平行線的性質(zhì)可證明∠EGH=90°，即垂直成立．

（3）利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式表示出△EAD的面積即AE•AD或ED•AG，由已知數(shù)據(jù)即可求出AG的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：∵正方形ABCD，

∴∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，

∴∠DCF=90°=∠DAE，

∵CF=AE，

∴△ADE≌△CDF．

（2）證明：∵正方形ABCD，

∴AB=BC=AD，∠DAB=∠B=90°，

∵E為AB中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，

∴AE=BH，

∴△DAE≌△ABH，

∴∠EDA=∠BAH，

∵∠AED+∠ADE=90°，

∴∠AED+∠BAH=90°，

∴∠AGE=180°-90°=90°，

∴AH⊥ED．

（3）在△EAD中，由勾股定理得：DE=，

由三角形的面積公式得：AE×AD=DE×AG，

∴1×2=×AG，

∴AG=.

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.勾股定理．