Question

【題目】如圖，在四邊形中，是對(duì)角線，，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若，求的值；

（3）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接.設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)是否可能重合？若可能，請(qǐng)說明理由并求此時(shí)的值（用含的式子表示）；若不可能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）可以重合，理由見解析，的最小值為.

【解析】

（1）運(yùn)用HL證明即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)已知條件可證出AB=BE，從而可得∠BAE=45°,再由角平分線的定義可得∠BAC的度數(shù)；

（3）連接，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).證明點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱，也即點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，這三點(diǎn)共線，也即的值最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合.再證明為等邊三角形即可得到結(jié)論.

（1）證明：，

，，

.

.

（2），

又，

.

，

.

.

，

.

由（1）得，

.

.

（3）當(dāng)的值最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)可以重合，理由如下：

，

，.

，

.

.

.

由（1）得，，

，

.即平分.

又，，

.

連接，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).

設(shè)，則.

在中，.

在中，.

，

.

，

.

當(dāng)時(shí)，

，，

.

.

即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱，也即點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，這三點(diǎn)共線，也即的值最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，也即.

所以，當(dāng)時(shí)，取最小值時(shí)的點(diǎn)與點(diǎn)重合.

此時(shí)的最小值即為.

，，，

.

.

.

，，三點(diǎn)共線.

當(dāng)時(shí)，在中，

.

∴ ∠EPA＝60°.

為等邊三角

.，

.

.

，

.

的最小值為.