【題目】已知在△ABC中,AC=BC,分別過A,B兩點作互相平行的直線AM,BN,過點C的直線分別交直線AM,BN于點D,E.
(1)如圖1,若AM⊥AB,求證:CD=CE;
(2)如圖2,∠ABC=∠DEB=60°,判斷線段AD,DC與BE之間的關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)AD+DC=BE,理由見解析
【解析】
(1)延長AC交BN于點F,證明△ADC≌△FEC(ASA),即可得出結(jié)論;
(2)在EB上截取EH=EC,連接CH,證明△DAC≌△HCB(AAS),得出AD=CH,DC=BH,即可得出結(jié)論.
(1)證明:如圖1,延長AC交BN于點F,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA,
又∵AB⊥AM,
∴∠BAM=90°,
又∵AM∥BN,
∴∠BAM+∠ABN=180°,
∴∠ABN=90°,
∴∠BAF+∠AFB=90°,∠ABC+∠CBF=90°,
∴∠CBF=∠AFB,
∴BC=CF,
∴AC=FC,
又∵AM∥BN,∴∠DAF=∠AFB,
在△ADC和△FEC中,,
∴△ADC≌△FEC(ASA),
∴DC=EC;
(2)解:AD+DC=BE;理由如下:
如圖2,在EB上截取EH=EC,連接CH,
∵AC=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC為等邊三角形,
∵∠DEB=60°,
∴△CHE是等邊三角形,
∴∠CHE=60°,∠HCE=60°,
∴∠BHC=120°,
∵AM∥BN,
∴∠ADC+∠BEC=180°,
∴∠ADC=120°,
∴∠DAC+∠DCA=60°,
又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE=180°,
∴∠DCA+∠BCH=60°,
∴∠DAC=∠BCH,
在△DAC與△HCB中,,
∴△DAC≌△HCB(AAS),
∴AD=CH,DC=BH,
又∵CH=CE=HE,
∴BE=BH+HE=DC+AD,
即AD+DC=BE.
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【題目】如圖,PT是⊙O的切線,T為切點,PA是割線,交⊙O于A、B兩點,與直徑CT交于點D.已知CD=2,AD=3,BD=4,那PB=___________.
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【題目】一項工程,甲,乙兩公司合做,12天可以完成,共需付施工費102000元;如果甲,乙兩公司單獨完成此項工程,乙公司所用時間是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元.
(1)甲,乙兩公司單獨完成此項工程,各需多少天?
(2)若讓一個公司單獨完成這項工程,哪個公司的施工費較少?
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【題目】如圖,在四邊形中,是對角線,,,延長交的延長線于點.
(1)求證:;
(2)若,求的值;
(3)過點作,交的延長線于點,過點作,交的延長線于點,連接.設(shè),點是直線上的動點,當的值最小時,點與點是否可能重合?若可能,請說明理由并求此時的值(用含的式子表示);若不可能,請說明理由.
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【題目】為了發(fā)展鄉(xiāng)村旅游,某村準備在河道上修一座與河道垂直的橋,如圖(1)所示,直線l,m代表河流的兩岸河道,且l∥m,點A是某村自助農(nóng)場的所在地,點B是某村游樂場所在地.
問題1:造橋選址橋準備選在到A,B兩地的距離之和剛好為最小的點C處,即在直線l上找一點C,使AC+BC的值為最小.請利用你所學(xué)的知識在圖(1)中作出點C的位置,并簡單說明你所設(shè)計方案的原理;
問題2:測量河寬:在測量河道的寬度時施工隊在河道南側(cè)的開闊地用以下方法(如圖2所示):①作CD⊥l,與河對岸的直線m相交于D;②在直線m上取E,F兩點,使得DE=EF=10米;③過點F作m的垂線FG,使得點G與C,E兩點在同一直線上;④測量FG的長度為20米.請你確定河道的寬度,并說明理由.
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【題目】一條船上午點在處望見西南方向有一座燈塔(如圖),此時測得船和燈塔相距海里,船以每小時海里的速度向南偏西的方向航行到處,這時望見燈塔在船的正北方向.(參考數(shù)據(jù):,).
求幾點鐘船到達處;
求船到達處時與燈塔之間的距離.
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【題目】若a使關(guān)于x的不等式組 有兩個整數(shù)解,且使關(guān)于x的方程有負數(shù)解,則符合題意的整數(shù)a的個數(shù)有 ( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,已知和是兩個邊長都為的等邊三角形,且點,,,在同一直線上,連接,.
求證:四邊形是平行四邊形;
若沿著的方向勻速運動,不動,當運動到點與點重合時,四邊形是什么特殊的四邊形?說明理由.
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