Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)G是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于點(diǎn)H．

（1）若點(diǎn)G在點(diǎn)B的右邊．試探索：EHBG的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

（2）連接EB，在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外）過程中，求∠EBH的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）EHBG的值是定值4，（2）在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外）過程中，∠EBH都等于45°

【解析】分析：根據(jù)垂直的定義得到∠GHE=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到 判斷出證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）分三種情況討論：利用（1）得出≌，再判斷出△BHE是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．

詳解：（1）的值是定值，

又 ，∴

∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形，

∴，∴

在和中，，

∴≌（AAS）；

∴

又AG=AB+BG，AB=4，

∴EH=AB+BG，

∴EHBG=AB=4；

（2）(I)當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖1，

同(2)①可證得：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴GB+BH=AG+GB，

∴BH=AG=EH,又，

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴

(II)如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，

由(2)①證得：△DAG≌△GHE.

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴AB+BG=BG+GH，

∴AG=BH，又EH=AG

∴EH=HB,又，

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴

(III)當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，

如圖3,同理可證：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，

∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形，

∴

綜上,在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過程中,∠EBH都等于