【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作BC的平行線分別交AC,AB的延長線于點(diǎn)E,F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)設(shè)AC=x,AF=y,試用含x,y的代數(shù)式表示線段AD的長;
(3)若BF=2,,求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)AD=.
【解析】
(1)連接OD,通過AB為直徑和平行線證∠E=∠ACB=90°,再通過角平分線和半徑相等,證出∠ODA=∠EAD,進(jìn)而得到EA∥OD,根據(jù)兩直線平行,同位角相等得出∠ODF=∠E=90°,進(jìn)而證出EF是⊙O的切線.
(2)連接CD.通過平行線及同弧所對的圓周角相等得出兩對角相等,證明△FAD∽△DAC,得出比例式代入數(shù)值即可.
(3)設(shè)⊙O半徑為r.在Rt△DOF中和Rt△ABC中,,根據(jù),求得r=1.
再根據(jù),求得AC的長,再求得AF的長,代入(2)中結(jié)論即可求出AD的長.
(1)連接OD.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵EF∥CB,
∴∠E=∠ACB=90°.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
又∠OAD=∠EAD,
∴∠ODA=∠EAD.
∴EA∥OD.
∴∠ODF=∠E=90°.
∴EF是⊙O的切線.
(2)連接CD.
∵EF∥BC,
∴∠ABC=∠F.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠F=∠ADC.
∵∠DAF=∠CAD,
∴△FAD∽△DAC.
∴.
∴AD2=FA·CA=xy.
即.
(3)設(shè)⊙O半徑為r.
Rt△DOF中,,即.解得r=1.
Rt△ABC中,,即.
∴AC=.
又AF=1+1+2=4,
由(2)知.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形OABC,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,其中A(2,0),C(0,3),點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)在射線CO上運(yùn)動,連接BP,作BE⊥PB交x軸于點(diǎn)E,連接PE交AB于點(diǎn)F,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.在運(yùn)動的過程中,寫出以P、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時t的值為_____________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一塊含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一個量角器拼在一起,三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合,其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開始(即N點(diǎn)的讀數(shù)為0),現(xiàn)有射線CP繞著點(diǎn)C從CA順時針以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到與△ACB外接圓相切為止.在旋轉(zhuǎn)過程中,射線CP與量角器的半圓弧交于E.
(1)當(dāng)射線CP與△ABC的外接圓相切時,求射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是多少?
(2)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過△ABC的外心、內(nèi)心時,點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少?
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時,連接BE,求證:BE=CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上,老師提出問題:如圖,有一張長為4dm,寬為3dm的長方形紙板,在紙板四個角剪去四個相同的小正方形,然后把四邊折起來(實(shí)線為剪裁線,虛線為折疊線),做成一個無蓋的長方體盒子,問小正方形的邊長為多少時,盒子的體積最大?為了解決這個問題,小明同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,進(jìn)行了如下的探究:
(1)設(shè)小正方形的邊長為xdm,長方體體積為ydm3,根據(jù)長方體的體積公式,可以得到y與x的函數(shù)關(guān)系式是 ,其中自變量x的取值范圍是 .
(2)列出y與x的幾組對應(yīng)值如下表:
x/dm | … | 1 | … | |||||||||
y/dm3 | … | 1.3 | 2.2 | 2.7 | 3.0 | 2.8 | 2.5 | 1.5 | 0.9 | … |
(注:補(bǔ)全表格,保留1位小數(shù)點(diǎn))
(3)如圖,請在平面直角坐標(biāo)系中描出以補(bǔ)全后表格中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)圖象;
(4)結(jié)合函數(shù)圖象回答:當(dāng)小正方形的邊長約為 dm時,無蓋長方體盒子的體積最大,最大值約為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A1,A2,A3,… 和B1,B2,B3,… 分別在直線和x軸上.△OA1 B1,△B1 A2 B2,△B2 A3 B3,…都是等腰直角三角形.如果點(diǎn)A1(1,1),那么點(diǎn)A2019的縱坐標(biāo)是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,且AB =6,C是⊙O上一點(diǎn),D是的中點(diǎn),過點(diǎn)D作⊙O的切線,與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)E、F,連接AD.
(l)求證:AF⊥EF;
(2)填空:
①當(dāng)BE= 時,點(diǎn)C是AF的中點(diǎn);
②當(dāng)BE= 時,四邊形OBDC是菱形,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于反比例函數(shù)y=,下列說法不正確的是( )
A. y隨x的增大而增大
B. 它的圖象在第二、四象限
C. 當(dāng)k=2時,它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(5,﹣1)
D. 它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖甲,在正方形ABCD中,AB=6cm,點(diǎn)P、Q從A點(diǎn)沿邊AB、BC、CD運(yùn)動,點(diǎn)M從A點(diǎn)沿邊AD、DC、CB運(yùn)動,點(diǎn)P、Q的速度分別為1cm/s,3cm/s,點(diǎn)M的速度2cm/s.若它們同時出發(fā),當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時,所有點(diǎn)都停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為ts,△PQM的面積為Scm2,則S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖乙所示.結(jié)合圖形,完成以下各題:
(1)填空:a= ;b= ;c= .
(2)當(dāng)t為何值時,點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇?
(3)當(dāng)2<t≤3時,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)在整個運(yùn)動過程中,△PQM能否為直角三角形?若能,請求出此時t的值;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級某班開展數(shù)學(xué)活動,小明和小軍合作用一副三角板測量學(xué)校的旗桿,小明站在B點(diǎn)測得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為45°,小軍站在D點(diǎn)測得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為30°.已知小明和小軍的距離BD=6 m,小明的身高AB=1.5 m,小軍的身高CD=1.75 m,求旗桿的高EF.(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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