(本題9分)如圖,點M,N分別在正三角形ABC的BC,CA邊上,且BM=CN,AM,BN交于點Q.
(1)求證:∠BQM=600.
(2)做完(1)后,同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進行了反思,提出了許多問題,如:
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換,得到的是否仍是真命題?
②若將題中的點M,N分別移動到BC,CA的延長線上,是否仍能得到∠BQM=60°?
③若將題中的條件“點M,N分別在正三角形ABC的BC,CA邊上”改為“點M,N分別在正方形ABCD的BC,CD邊上”,是否仍能得到∠BQM=60°?
請你對上面三個問題作出判斷,在下列橫線上填寫“是”或“否”:① ;② ;③ .并對②,③的判斷,選擇一個給出證明.
(1)證明正確得3分;(2)①是,②是,③否,每個1分,共3分②或③證明正確一個得3分.
【解析】
試題分析:(1)由三角形ABC為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)得到三個角相等,三條邊相等,利用SAS得到三角形ABM與三角形BCN全等,利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等,利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證;(2)①是真命題,條件與結(jié)論交換后,利用ASA得到三角形ABM與三角形BCN全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;②是真命題,利用外角的性質(zhì)得到夾角相等,利用SAS得到三角形ACM與三角形ABN全等,利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等,利用等式的性質(zhì)變形即可得證;③否真命題,利用HL得到直角三角形ABM與三角形BCN全等,利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AMB=∠BNC,根據(jù)直角三角形BNC中兩銳角互余,利用等量代換及垂直的定義判斷得到∠BQM=90°.
試題解析:(1)∵△ABC為等邊三角形,∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,在△ABM和△BCN中, BM=CN,∠ABM=∠BCN,AB=BC,∴△ABM≌△BCN(SAS),∴∠BAM=∠CBN,∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°;(2)①是;②是;③否;若選擇①,已知:∠BQM=60°,求證:BM=CN,證明:∵∠ABM=∠ABQ+∠CBQ =60°,∠BQM=∠ABQ+∠BAQ=60°,∴∠BAQ=∠CBQ,在△ABM和△BCN中,∠BAM=∠CBN,AB=BC,∠ABM=∠C=60°,∴△ABM≌△BCN(ASA),∴BM=CN;若選擇②,證明:如圖,在△ACM和△BAN中,CM=AN,∠ACM=∠BAN=120°,AC=AB,∴△ACM≌△BAN(SAS),∴∠AMC=∠BNA,∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°,∴∠BQM=60°;若選擇③,證明:如圖,在Rt△ABM和Rt△BCN中, BM=CN, AB=BC,∴Rt△ABM≌Rt△BCN(HL),∴∠AMB=∠BNC,又∵∠NBM+∠BNC=90°,∴∠QBM+∠QMB=90°,則∠BQM=90°.故答案為:①是;②是;③否.
考點:全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省無錫市濱湖區(qū)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上,∠BCA=90°,AC=BC=,反比例函數(shù)(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點D,E.連結(jié)DE,當(dāng)△BDE∽△BCA時,點E的坐標(biāo)為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省無錫市九年級上學(xué)期高效課堂調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
給出下列幾何圖形:
①兩個圓;
②兩個正方形;
③兩個矩形;
④兩個正六邊形;
⑤兩個等腰三角形;
⑥兩個直角三角形;
⑦四個角對應(yīng)相等的兩個等腰梯形;
⑧有一個角為40°的菱形.
其中,一定相似的有( )個.
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省無錫市九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
有一塊長30cm,寬20cm的紙板,要挖出一個面積為200cm2的長方形的孔,并且四周寬度相等,若設(shè)這個寬度為xcm,則可得方程為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省無錫市九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,P為線段AB的黃金分割點,且AP> BP,則下列結(jié)論成立的個數(shù)是( )
⑴
⑵AB:AP=AP:PB
⑶BP2=AP·AB
⑷≈0.618
A.1個 B.2個 C.3個 D. 4個
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省無錫市新區(qū)八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題6分)已知△ABC中,AB=AC=5,BC=6, AM平分∠BAC, D為AC的中點,E為BC延長線上一點,且CE=BC.(1)求ME的長;(2)求證:DB=DE
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省無錫市新區(qū)八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB交AC于E,BC=10cm,△BCE的周長是24cm,且∠A=40°,則∠EBC= ;AB= .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省無錫市新區(qū)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分4分)某商店經(jīng)銷一批小家電,每個小家電的成本為40元.據(jù)市場分析,銷售單價定為50元時,一個月能售出500件;若銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10件.針對這種小家電的銷售情況,該商店要保證每月盈利8640元,同時又要使顧客得到實惠,那么銷售單價應(yīng)定為多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省無錫市新區(qū)七年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
的運算結(jié)果是( ).
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com