Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，對角線AC、BD交于點O，點E在對角線BD上，連接AE．點G是AD延長線上一點，DF平分∠GDC，且DF=BE，連接FB、FC，F(xiàn)B與AC交于點M．

（1）若點E是BD的三等分點（DE＜BE），BF=，求△ABE的面積；

（2）求證：DE=2CM．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由點E是BD的三等分點，設(shè)BE＝DF=2x，DE=x. 在Rt△BDF中，根據(jù)勾股定理得BD+DF=BF，即可求出的值，根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

（2）延長DF、BC交于點H.證明△EBA≌△FDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF,∠AEB=∠CFD，再證明△AED≌△CFH，即可證明.

解：（1）由題意易得∠BDF=90°，

∵點E是BD的三等分點（DE＜BE）

∴設(shè)BE＝DF=2x，DE=x.

在Rt△BDF中，∠BDF=90°

∵BD+DF=BF

∴9x+4x=156解得x=

∴BE=2x=,AO=BD=

∴△ABE面積=·BE·AO==18.

（2）同時延長DF、BC交于點H.

∵O是BD中點，OC∥DF

∴M是BF中點，C是BH中點.

∴CM是△BFH的中位線.

即FH=2CM.

在△EBA與△FDC中

EB=FD;∠ABE=∠FDC=45°，CD=AB

∴△EBA≌△FDC（SAS）.

∴AE=CF,∠AEB=∠CFD

∴∠AED=∠CFH.

∵CM∥FH

∴∠H=∠ACB=∠ADB=45°.

在△AED與△CFH中

∠ADB=∠H，∠AED=∠CFH，AE=CF

∴△AED≌△CFH（AAS）

∴DE=FH=2CM.